8 Декартова и полярная система координат

Декартова система координат на плоскости определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка Oназывается началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1).

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат (рис. 2).

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и j точкиM называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол j между полярной осью и вектором OM (рис. 2). Угол j называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол j не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол j определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤ j < 2 π или − π < j ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и j формулами

x = ρcosj      y = ρsinj .

Полярные координаты ρ и j точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами

ρ

=

√

x2 + y2

   

x

cosj =   √ x2 + y2

     

y

sinj =   √ x2 + y2

Замечание. Если не указано положение полюса и полярной оси относительно декартовой системы координат, то считаем, что полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс.

9 Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

В

Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является его началом, а какая – концом.

А

Вектор АВ

Начало вектора

Конец ветора

Длина ветора АВ – это длинна отрезка АВ ( |AB|)

Два ветора называются коллинеарными, если она лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Если лежат в одном направление – сонаправленные, в разных – противоположно направленные. Два ветора равны если они сонаправленны и равны по длинне.

 Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора cравен:   с_i = a_i + b_i

Правило треугольника и правило параллелеограмма

а

в

с

с

Свойства сложения

1. а + 0 = а

2. а + в = в +а

3. (а +в) + с = а + (в + с)

Вычитание векторов (разность векторов) a - b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен: сi = ai – bi

Умножение ветора на число

Произведение а ≠ 0 на К € R – это такой вектор в = Ка, который сонаправлен а при К › 0, и противоположно направлен а при К‹0, и длинна которого равна Ка. При К=0, в =0а=0.