45 Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

 

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

          

46диффер.урав. осн понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи её производные, т. е. уравнение вида

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение, где— известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение— уравнение 9-го порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y¢, т.е. уравнение вида

 F(x,y,y¢)=0 или y¢=f(x,y).  

Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция, которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. (Эта теорема верна только для линейных дифференциальных уравнений.)

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (произвольных констант) называетсяобщим решением дифференциального уравнения.

47 Задача коши

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная   f_y(x, y)  непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит областиD.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши  

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственнаяинтегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения  

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семейство решений задачи Коши  

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) . 

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)

f '(c)

g '(c)

=  

.

48 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции.  Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесемdx в правую часть и разделим уравнение на h(y): Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  Обозначив , запишем уравнение в форме: Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение: где C − постоянная интегрирования.  Вычисляя интегралы, получаем выражение описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.