- •1 Матрица
- •2 Определитель
- •3 Обратная матрица
- •4 Системы линейных алгебраических уравнений
- •5 Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •6 Метод гаусса решения системы линейных уравнений
- •7 Матричный метод
- •8 Декартова и полярная система координат
- •9 Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •10 Скалярное произведение векторов.
- •11 Векторное произведение векторов и его св-ва. Вычисление площадей
- •13 Условия колинеарности,компл и ортогонал.
- •14 Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- •17 Кривые второго порядка, определения и канонические уравнения
- •18 Поверхности второго порядка
- •20 Свойствва пределов. Первый и второй замечтльный предел
- •21 Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
- •22 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •25 Непрерывность элементарных функций
- •28Физический смысл первой производной
- •29 Правила нахождения производная суммы разности произведения отношения функций
- •30 Таблица производных основных элементарных функций
- •31 Производ. Слож. Функц
- •32 Произв и диффер. Высш.Порядк
- •33 Монотон.Диффер.Высш.Функц.
- •34 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •35 Выпуклость функции, точки перегиба
- •36 Применение второй производной для нахождения интервалов выпуклости
- •37 Общая схема исследования функций
- •38 Первообраз и их множеств.
- •39 Таблица основных интегралов
- •40 Метод непосредственного интегрирования
- •41Интегрирование по частям и подставновкой
- •42 Определен.Интеграл и его определение
- •43 Формула Ньютона — Лейбница
- •44 Вычисление площадей с помощью интеграла.
- •45 Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
- •47 Задача коши
10 Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов ибудем обозначать как. Тогдаформула для вычисления скалярного произведения имеет вид , гдеи- длины векторовисоответственно, а- угол между векторамии. Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов a и b.
То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
Свойства.
свойство коммутативности скалярного произведения ;
свойство дистрибутивности или
сочетательное свойство или, где- произвольное действительное число;
скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причемтогда и только тогда, когда векторнулевой.
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
cos α = |
a·b |
|a|·|b| |
11 Векторное произведение векторов и его св-ва. Вычисление площадей
Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что
он является нулевым, если векторы и коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору и вектору ();
его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними ();
тройка векторов ориентирована так же, как и заданная система координат.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение есть определитель квадратной матрицы где первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора, а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат: ,
антикоммутативность ;
свойство дистрибутивности или ;
сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.
Площадь параллелограмма образованного векторами a и b равна модулю векторного произведения этих векторов: S = |a × b|
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
S = |
1 |
|a × b| |
2 |
12 Смешанное произв. Вектр.и его св-ва
Смешанным произведением трех векторов и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов и , где - векторное произведение векторов и .
Векторное произведение в координатах имеет вид
а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно
сумме произведений соответствующих координат, поэтому
свойства смешанного произведения:
;
;
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: