VAR1

Рис.2.4. Графики функций плотности и распределения

N(7; 4)

В. Работа с Probability Distr. Calculator

Для непрерывных распределений все необходимые расчеты можно выполнить, используя вероятностный калькулятор. Войдите в модуль Basic Statistics and Tables → Analysis → Startup Panel →

Probability Calculator (рис.2.5).

Рис.2.5. Окно вероятностного калькулятора

Чтобы понять работу с вероятностным калькулятором, откройте таблицу значений функции

32

распределения нормального закона N(0, 1)

В поле Distribution слева выберите нормальное распределение Z(normal), математическое ожидание mean = 0, стандартное отклонение st.dev. = 1. Если теперь ввести значение x (например x = 0,1) и щелкнуть левой кнопкой на Compute, то в поле р появится число, равное вероятности события Z < x, где Z - случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение N(0, 1), Z ~ N(0, 1), т.е. р = P[Z < x] = Φ(x).

Так, при х = 0,1 получим р = P[Z < 0,1] = Φ(0,1) = 0,539828. (Проверьте по таблице значений функции Φ(x)!)

На графике плотности распределения (Density Function) вычисленная вероятность р равна заштрихованной части площади под графиком плотности распределения (вся площадь под графиком плотности равна единице). На графике функции распределения (Distribution Function) р - это ордината Φ(x), соответствующая абсциссе x. Точные значения на графиках можно получить, если левой кнопкой установить опцию Create graph и нажать кнопку пересчета Compute.

Напомним, что квантиль порядка р для непрерывного распределения случайной величины X с плотностью f(x) - это число xp, удовлетворяющее условию

x p

P[X − xp ]= F(xp ) = p, или ò f (x)dx = p .

−∞

33

Таким образом, используя вероятностный калькулятор, можно для данного распределения: 1) по значению квантили xp = x найти порядок квантили р; 2) по значению порядка квантили р найти соответствующую квантиль xp = x.

Задания для самостоятельной работы

1.Составьте таблицу квантилей порядка 0,01; 0,05; 0,1; 0,9; 0,95; 0,99 для распределений: N(0, 1),

Стьюдента (t-распределения) (k = 10), хи-квадрат

(k = 19), Фишера F (k1 = 10, k2 = 15).

2.Для случайной величины X~N(1, s2 = 4) вычислите вероятности следующих событий: P[X < 2],

P[X ³ 3], P[0 < X < 3], P[½X½ < 1], P[½X½ ³ 2], P[½X – 1½ < 1], P[½X – 2½ > 1]. Расчеты проведите, используя функцию Ф(x), и сравните результаты со значениями, вычисленными с помощью вероятностного калькулятора. Покажите соответствующие вероятности на графиках плотности распределения.

3. Объясните, что вычисляет вероятностный калькулятор, если используются опции two-tailed и 1- Cumulative p. Приведите примеры расчетов с использованием этих опций.

C. Построение графиков плотностей и функций распределения с использованием опции Graphs

График любой функции из списка функций, используемых в вероятностных расчетах, строится так: Graphs → Stat 2D Graphs → Custom Function Plots…

Custom Function: в поле введем, например, normal(x; 7; 2) - график плотности нормального распределения с m = 7 и σ = 2; далее введем диапазон изменения х: xmin = 0, xmax = 14 и нажмем ОК. График показан на рис.2.6.

34

Function Plot (NEW.STA 10v*110c)

Рис.2.6. График плотности нормального распределения

спараметрами m = 7, σ = 2

D.Моделирование распределений случайных величин

Взадачах статистического анализа сложных систем, например систем автоматического проектирования (САПР), широко используется метод моделирования выборки из генеральной совокупности с заданным законом распределения.

Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Как известно из теории вероятностей, случайная величина Y = F(X) имеет равномерное распределение R(0, 1). Отсюда следует, что случайная величина X может быть получена из равномерно распределенной случайной величины Y по

формуле X = F −1(Y) , где F–1 - функция, обратная к F

(заведомо существующая для случайных величин непрерывного типа).

Метод моделирования выборки из генеральной совокупности с законом распределения F(x) реализуется следующим алгоритмом:

x j = F −1( y j ) , j = 1, 2, …, n,

35

где y1, y2, …, yn - выборка из генеральной совокупности с равномерным распределением R(0, 1), являющаяся последовательностью случайных чисел.

Алгоритм получения выборки из генеральной совокупности с законом распределения F(x) поясняется на рис.2.7.

Таким образом, для моделирования выборки из непрерывного распределения нужно получить выборку из генеральной совокупности, имеющую равномерное распределение R(0, 1), а затем использовать функцию, обратную к функции распределения соответствующей случайной величины.

В пакете STATISTICA распределение R(0, 1) моделируется с помощью функции :=rnd(1).

Для примера смоделируем выборку из равномерного распределения R(0, 1) и запишем результат в переменной VAR4: курсор на поле VAR4 → щелчок правой кнопкой мыши → Variable Specs…→ в поле long name ввод формулы :=rnd(1) → ОК.

36

После пересчета 200 значений переменной VAR4 будут заполнены числами, представляющими случайную выборку наблюдений из генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение R(0, 1). Чтобы получить выборку из нормального распределения N (m = 7; σ2 = 4) и записать ее в переменную VAR5, нужно в поле long name переменной

VAR5 записать формулу :=Vnormal (v4; 7; 2).

Можно в качестве аргумента функции Vnormal сразу записать rnd(1), тогда соответствующая формула будет :=Vnormal (rnd(1); 7; 2).

Аналогично моделируются выборки для любого непрерывного распределения.

37