Задание 2

Решите следующие задачи, используя критерий серий Вальда - Вольфовица.

10. Для 13 деталей получены следующие отклонения контрольного размера от номинального

(мкм):

+8 –11 +10 –4, +5, –4, –5, +15 –9 +21, +7, –3, +6.

Можно ли считать, что полученная выборка представляет результаты случайных и независимых наблюдений? Принять α = 0,05.

11. При подбрасывании монеты 45 раз последовательность результатов (Г - выпадение герба, Р - выпадение решки) имела следующий вид:

ГГГГГГРРРРГГГРРРГРГРРРРРР

ГГГГРРРРРГГГРГГГГРРР.

Является ли такая последовательность случайной выборкой?

Принять α = 0,05.

12. Глубина слоя диффузии, определенная по выборке из партии микросхем, имеет следующие значения (мкм):

9,8; 9,8; 8,6; 9,2; 9,8; 9,0; 10,0; 9,4; 9,0; 11,2; 10,8; 9,2; 9,4.

Проверить гипотезу Н0 о том, что полученные результаты распределены случайным образом. Принять

α = 0,05.

119

4.7. Однофакторный дисперсионный анализ Краскела - Уоллиса и медианный критерий (Kruskal - Wallis ANOVA and

median test)

Критерий Краскела - Уоллиса служит для проверки гипотезы H0: k выборок объемом n1, n2, ..., nk получены из одной генеральной совокупности, т.е. является обобщением U-критерия Манна - Уитни на случай, когда число выборок k > 2.

Статистика критерия H определяется следующим образом. Все выборки записываются в одну последовательность. Эта последовательность записывается в порядке возрастания, т.е. в виде вариационного ряда. Для каждого элемента выборки определяется ранг (так же, как в U-критерии). Пусть Ri - сумма рангов i-й выборки, i = 1, 2, ..., k. Для контроля можно использовать тождество

где n - число элементов объединенной выборки,

k

n = åni . i=1

Статистика критерия H вычисляется по формуле

Если гипотеза H0 верна, то при ni ³ 5 и k ³ 4 статистика H имеет распределение c2с(k -1) степенями свободы. Гипотеза H0 отклоняется на уровне

120

значимости α, если выборочное значение Hв статистики H удовлетворяет условию

H> χ2−α (k −1) ,

в1

Для ni < 5 и k = 3 имеются точные таблицы критических значений (см. [14]).

Пример 4.9. Ниже приводятся данные о

содержании иммуноглобулина IgA в сыворотке крови у больных четырех возрастных групп:

Проверить гипотезу о том, что содержание иммуноглобулина у всех возрастных групп совпадает. Принять α = 0,01.

Решение. Для проверки гипотезы H0 воспользуемся критерием Краскела - Уоллиса. Суммы рангов по выборкам и объемы выборок равны:

4

n = åni = 27. i−1

Выборочное значение статистики критерия H:

Hв = 21,99548.

121

Так как квантиль распределения χ2:

χ0,952 (4 −1) = 7,81,

что меньше Hв, то гипотеза H0 отклоняется на уровне значимости α = 0,05: данные свидетельствуют о различном

содержании иммуноглобулина в крови больных разных возрастных групп.

Этот результат получим в пакете STATISTICA,

введя данные в процедуру Kruskal - Wallis ANOVA and median test. Четыре выборки вводятся подряд в одну переменную (dependent var), а коды выборок (1, 2, 3, 4) вводятся в группирующую переменную

(grouping var).

После выполнения процедуры получим выборочное значение статистики критерия

H = 21,99548

и вычисленный уровень значимости Так как значение р меньше, чем заданный уровень

значимости

α= 0,10, то гипотеза Н0 отклоняется.

Впакете STATISTICA решение выглядит, как на рис.4.8.

Рис.4.8. Решение примера 4.9 Медианный критерий используется для проверки

нулевой гипотезы о том, что все k выборок получены из

122

генеральных совокупностей, имеющих равные медианы. Процедура применения критерия состоит в следующем.

виде вариационного ряда и определяется общая медиана: если ряд содержит нечетное число элементов, то медиана равна среднему члену вариационного ряда; если ряд содержит четное число элементов, то медиана равна среднему арифметическому двух средних элементов. Далее для каждой выборки определяется число элементов, лежащих ниже или совпадающих с медианой, и число элементов, лежащих выше медианы. Результаты (частоты) заносятся в таблицу сопряженности 2× k.

Для проверки гипотезы H0: все k генеральных совокупностей имеют равные медианы, можно использовать статистику χ2:

χ2 = å( f0 − fe )2 = å f02 − n, fe fe

где f0 - наблюдаемые частоты; fe - ожидаемые частоты при условии, что гипотеза H0 верна.

Если гипотеза H0 верна, статистика χ2 имеет распределение хи-квадрат с (2 −1)(k −1) = k −1 числом

степеней свободы. Гипотеза H0 отклоняется, если

χ2 > χ2−α (k −1),

в 1

Для примера 4.9 результаты применения медианного критерия следующие: общая медиана равна 87, таблица сопряженности 2× 4 для наблюдаемых частот f0 имеет вид:

Группа Группа Группа Группа Всего

123

Выборочное значение статистики χ2:

χв2 = 16,691.

124