2. Лабораторные работы по теории вероятностей

Работа 1. Характеристики основных вероятностных распределений.

Моделирование распределений случайных величин. Вычисление вероятностей

Основные понятия. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения. Функция и плотность распределения и их свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, начальные и центральные моменты, асимметрия, эксцесс. Квантиль порядка р.

Литература.

[1], гл. 18, § 2; гл. 19, § 2; [6], гл. 5, 6.

Задание.

1. Изучить основные свойства, характеристики и зависимость от параметров следующих распределений: биномиального B(n, p), пуассоновского Pu(a), геометрического Ge(p), равномерного R(a, b), экспоненциальное Ex(λ), нормального N(m, σ2), а также распределений

хи-квадрат, Стьюдента T(k) и Фишера F(k1, k2). При этом необходимо знать:

∙ определение математической или физической модели, приводящее к данному распределению, а также область, где оно встречается и используется;

25

∙функцию и плотность распределения, параметры, математическое ожидание, дисперсию, особенности формы распределения и асимптотические свойства;

∙вычисление квантилей xp заданного порядка и вероятностей;

∙связь данного распределения с другими распределениями.

2.Определить по номеру V в списке группы значения параметров распределений для случайных

величин X1, X2, …, X9 своего варианта по формулам:

1) X1 имеет биномиальное распределение B(n, p), параметры n и p определить по следующим формулам:

n = 10, если 1≤ V ≤ 10; n = 15, если 10 < V ≤ 20; n = 20, если 20 < V;

p = (V mod 10)/10, если V ¹ 10 и V ¹ 20; p = 0,1, если V = 10;

p = 0,5, если V = 20.

Указание: функция V mod a, равна остатку от деления V на a.

Например: 21 mod 10 = 1; 21 mod 3 = 0; 21 mod 6 = 3;

2)X2 имеет пуассоновское распределение Pu(a), параметр

a = (V mod 3) + 2;

3)X3 имеет геометрическое распределение Ge(p),

параметр p равен значению параметра р для B(n, р);

4)X4 имеет равномерное распределение R(a, b), параметры a и b взять равными: a = (V mod 10); b = a + 10;

5)X5 имеет экспоненциальное распределение Ex(λ), параметр λ взять равным значению р для B(n, р);

6)X6 имеет нормальное распределение N(m, σ2), параметры m и σ2 взять равными: m = (V mod 10) – 5; σ2

=(V mod 3) + 1;

26

7)X7 имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы х2k, параметр k = (V mod 10) + 7;

8)X8 имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы T(k), параметр k = (V mod 10) + 2;

9)X9 имеет распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы, параметр k1 = (V mod 10) + 7; k2 = (V mod 5) + 8.

3. Выполнить следующие расчеты:

1)для каждого из распределений 1) - 6) определить точные значения математического ожидания М[X],

дисперсии D[X], Р[2 ≤ X ≤ 4], квантили порядков 0,25; 0,5; 0,75. Параметры распределений и результаты представить в виде таблицы;

2) вычислить и показать на графиках плотностей распределения соответствующую вероятность

P[ X - m ³ kσ] для Х4, Х5, Х6 при k = 1, 2, 3;

3)сформулировать правило "трех сигм" для Х6;

4)исследовать асимптотические (при n→∞, k→∞,

k1→∞, k2→∞) свойства распределений биномиального, Стьюдента, хи-квадрат и Фишера. Привести эскизы графиков плотностей для исходных и асимптотических распределений;

5)методом моделирования получить выборки объемом 100 для каждого из непрерывных

распределений Х4 - Х9. Параметры распределений взять из таблицы, составленной для п. 3. Используя полученные выборки, для каждого из распределений Х4

-Х9 найти оценки М[X], D[X], P[2 < X < 4] квантилей порядков 0,25; 0,5; 0,75, а также оценки моды, медианы, эксцесса и асимметрии. Результаты занести в таблицу для п. 3. Сравнить точные значения параметров с их оценками по выборке.

27

Выполнение в пакете STATISTICA

Откройте новый файл для выполнения расчетов и записи результатов моделирования: File → New Data → OK присвоить имя файлу → OK.

Cases → Add (добавить число случаев до 200) →

ОК.

А. Описание вероятностных функций пакета STATISTICA, необходимых для

выполнения расчетов работы 1

Установите курсор на VAR1 и нажмите правую кнопку мыши.

Воткрывшемся меню выберите Variable Specs…

Вокне Variable Specs… (рис.2.1) задаются: имя переменной, число десятичных знаков, тип переменной.

Внижней части окна в поле long name можно записать функцию для пересчета значений переменной VAR1 или вставить соответствующую формулу, выбрав функции из списка после нажатия кнопки Functions (Функции).

Если в окне списка функций (рис.2.2) нажать кнопку Syntax, то появится текст, поясняющий правила записи формул и назначение функций. Функции, используемые в вероятностных расчетах, поясняются в дополнительном тексте, который появляется, если щелкнуть мышью по кнопке Distribution functions and their integrals (Функции распределения и их интегралы).

28

Для непрерывных распределений, например нормального, вычисляются три функции:

плотности нормального распределения N(m, σ²) в точке

х;

функции распределения нормального распределения N(μ; σ²) в точке х;

∙ Vnormal (x; μ; σ) - значение функции, обратной к функции Inormal (x; μ; σ) в точке х. Функция, обратная к функции распределения, используется для моделирования случайных величин (см. ниже).

Для дискретных распределений, например распределения Пуассона (Poisson), вычисляются две функции:

∙ Poisson (x; λ) = xλ e−λ - вероятность того, что

x!

случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ, примет значение х, где x - целое неотрицательное число, λ > 0;

вероятность (аналог функции распределения) в точке х. Пример. Использование функций плотности и

распределения для построения графиков.

Построим соответствующие графики для Х ~ N (m = 7, σ² = 4).

В файле данных для VAR1 в поле long name введем формулу

30

=(V0 – 7)/10. Напомним, что оператор V0 вводит номера строк:

1, 2, …, 100. После пересчета по этой формуле в переменной VAR1(v1) получим значения х: –0,6; –0,5; – 03; ….

Для переменных VAR2 и VAR3 в поле long name соответственно введем формулы: =Normal (v1; 7; 2) и =Inormal (v1; 7; 2). После пересчета получим: в столбце переменной V2 значение плотности распределения, а в V3 - значение функции распределения.

Чтобы построить графики, войдем в меню Graphs → Stats 2D Graphs → Scatterplots… Тип графика Double - Y (рис.2.3). Установим значения переменных: VARX:

VAR1:

ØLeft Y: VAR2

ØRight Y: VAR3

ØFit → Off

Нажав кнопку OK, получим графики, приведенные на рис.2.4.

Рис.2.3. Установка вида графика

31