Вычисленный |
уровень |
значимости |
p = P[χ2 (3) > 16,691] = 0,0008 , |
что меньше, |
чем обычно |
используемый уровень значимости α, следовательно, гипотеза H0 отклоняется.
4.8. Критерий знаков (Sign test)
Критерий знаков применяется для проверки гипотезы H0 об однородности генеральных совокупностей по попарно связанным выборкам. Такая задача возникает, например, при сравнении двух измерительных приборов. При этом используют n объектов. Для каждого объекта выполняют по одному измерению с помощью обоих приборов. Обозначим xi и yi, i = 1, 2, ..., n, результаты измерения i-го объекта, полученные соответственно при помощи первого и второго приборов. Если сравниваемые выборки получены из однородных совокупностей, то значения xi и yi взаимозаменяемы, и, следовательно, вероятности появления положительных и отрицательных разностей xi − yi равны.
Вероятности появления нулевых разностей равны нулю в силу предполагаемой непрерывности распределения измеряемого признака. Таким образом, вероятности появления положительных и
отрицательных разностей равны 12 :
P[xi − yi > 0] = P[xi − yi < 0] = 12 ,
i = 1, 2, ..., l, где l - число ненулевых разностей, l ≤ n. Нулевые разности могут появиться из-за
случайных погрешностей или ошибок округления, и
125
соответствующие им пары наблюдений исключаются из рассмотрения.
Статистикой критерия знаков является число знаков "+" или "–" в последовательности знаков разностей парных выборок (xi, yi), i = 1, 2, ..., l.
В дальнейшем, для определенности, берется число
знаков |
"+". |
При условии, что знаки разностей xi - yi |
независимы, |
число знаков "+" имеет биномиальное распределение с
параметрами p = |
1 |
и l, т.е. |
æ |
1 ö |
. |
Задача сводится к |
||||||
2 |
Bçl, |
|
÷ |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
||
проверке |
гипотезы |
H0: |
p = |
1 при |
|
одной |
из |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
альтернативных |
гипотез |
H (1) : |
p > 1 |
, H (2) |
: |
p < 1 , H (3) : |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
p ¹ 12 .
Пусть r - полученное число знаков "+", а α- заданный уровень значимости. Гипотеза H0 отклоняется,
если при H1(1) : p > 12 выполняется неравенство
|
|
l |
Ci æ |
1 |
öl |
£ a, |
|
(4.2) |
|
|
å |
|
÷ |
|
|||
|
|
l ç |
2 |
|
|
|
||
|
|
è |
ø |
|
|
|
||
|
|
i=r |
|
|
|
|
|
|
(где Ci |
- число сочетаний, Ci |
=l!/i!(l – i)!); или, при H (2) |
: |
|||||
|
l |
|
l |
|
|
|
1 |
|
p < 1 |
выполняется неравенство |
|
|
|
||||
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci æ |
1 |
öl |
£ a, |
|
(4.3) |
|
|
|
å |
|
÷ |
|
|||
|
|
l ç |
2 |
|
|
|
||
|
|
è |
ø |
|
|
|
||
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
или, |
наконец, при H (3) : |
p ¹ |
1 |
выполняется одно |
из |
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
неравенств
126
ì |
r |
i æ |
1 öl |
|
a |
|
|
||
ï |
å |
Cl ç |
|
÷ |
£ |
|
, |
|
|
2 |
2 |
||||||||
ï |
è |
ø |
|
|
|
||||
ï i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
l |
i æ |
1 |
öl |
|
a |
|
|
|
ï |
|
|
|
||||||
ï |
å |
Cl ç |
|
÷ |
£ |
|
. |
|
|
2 |
2 |
||||||||
è |
ø |
|
|
|
|||||
î i=r |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если при соответствующих альтернативных гипотезах неравенства (4.2) - (4.4) не выполняются, то гипотеза H0 не противоречит результатам наблюдений и принимается на уровне значимости α.
Вероятности в левых частях неравенств (4.2) - (4.4) вычисляются либо непосредственно, либо с помощью нормальной аппроксимации биномиального распределения.
Обозначим число знаков "+" как значения случайных величин X. Если гипотеза H0: p = 12 верна, то X имеет приближенно нормальное распределение с
математическим ожиданием lp = |
l |
и дисперсией lpq = |
l |
, и |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
вероятность события [Х < r] вычисляется по формуле |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
l |
ù |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
Ci æ |
1 ö |
l |
êr - |
|
|
ú |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
P[X £ r] = |
å |
|
» F ê |
|
|
|
|
ú, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l ç |
|
ê |
|
|
l |
|
|
ú |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
û |
|
|
|||
|
|
|
|
x |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F(x) = |
|
1 |
|
ò e− |
|
dt - функция нормального закона |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2p |
|
||||||||||||||||||||
N(1, 0). |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При l ≤ 50 более точный результат получается, если использовать "поправку на непрерывность". Окончательная формула имеет вид:
127
é |
|
l |
|
|
|
ù |
|
êr - |
+ 0,5 |
ú |
|||||
2 |
|||||||
P[X £ r] » F ê |
|
|
|
|
ú . |
||
|
|
|
|
|
|||
ê |
|
|
|
l |
ú |
||
ê |
|
|
|
|
|
ú |
|
|
4 |
|
|||||
ë |
|
|
|
û |
|||
В пакете STATISTICA выводятся следующие результаты: число ненулевых разностей l, процент
разностей со знаком "+" rl 100%, модуль нормированной
статистики критерия Z = |
r - |
l |
+ 0,5 |
|
l |
|
и вычисленный |
|
4 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
уровень значимости (для двусторонней проверки)
р - level = P[ Z > zв ],
где zв - выборочное значение статистики Z.
Пример 4.10. Предполагается, что один из двух приборов, определяющих скорость автомобиля, имеет систематическую ошибку. Для проверки этого предположения определили скорость десяти автомобилей, причем скорость каждого фиксировалась одновременно двумя приборами.
v1, км/ч 70 85 63 54 65 80 75 95 52 55
v2 , км/ч 72 86 62 55 63 80 78 90 53 57
Позволяют ли эти результаты утверждать, что второй прибор действительно дает завышенные значения скорости? Принять α = 0,10.
Решение. В предположении, что скорости автомобилей не зависят друг от друга, задачу можно решить, применив критерий знаков.
Последовательность знаков разностей v1 - v2 : –, –, +, – ,+, 0, –, +, –, –. Число ненулевых разностей l = 9, а число положительных разностей r = 3. Выборочное значение статистики критерия zв равно
128