Рис.4.3. Выбор биноминального распределения в диалоговом окне Function Wizard

Для рассматриваемого примера, при n = 55, α = 0,05 и при двусторонней гипотезе Н1 критические значения

будут x = 19 ( IBinom (19;0,5;55) ≈ 0,015 ) и x = 55 – 19 = 36

частоты попадают в критическую область: α = 10 < 19, d = 45 > 36 и, следовательно, на уровне значимости α = 0,05 гипотеза Н0 отклоняется.

Задания для самостоятельной работы

Решите следующие задачи. Определите меры связи χ2 и ϕ2 , прокомментируйте результаты.

1. Исследуются два производственных процесса изготовления поршневых колец. Используя критерий χ2, проверить гипотезу о равенстве процента брака в обоих процессах по следующим данным при α = 0,01:

2. В течение месяца завод поставил предприятию 200 корпусов, из которых 3 оказались дефектными. В следующий месяц завод поставил 850 корпусов, из которых 7 оказались дефектными. Изменилась ли доля дефектных корпусов в поставках завода? Принять α = 0,01.

3. 1000 человек классифицировали по признаку дальтонизма. По приведенным ниже данным проверить,

89

есть ли зависимость между наличием дальтонизма и

4. Во время эпидемии гриппа изучалась эффективность прививок против этого заболевания.

Указывают ли эти результаты на эффективность прививок?

Принять α = 0,01.

4.2. Статистика χ2 для сравнения

наблюдаемых и ожидаемых частот (Observed versus expected Xi)

В данной опции статистика χ2 используется проверки согласия наблюдаемых и ожидаемых частот. Ожидаемые частоты могут вычисляться на основе теоретической модели некоторого предполагаемого закона распределения случайной величины (вспомните критерий χ2 для проверки гипотезы о виде распределения ([1], гл.19, §6; [13], [22]). Выборочное

значение статистики χв2 вычисляется по формуле:

90

числом степеней свободы (r – l – 1), где l - число параметров распределения, оцениваемых по выборке, либо число связей, налагаемых моделью.

Гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот принимается, если

порядка 1 – α, α - заданный уровень значимости; в противном случае гипотеза о согласии частот отклоняется.

Пример 4.3. Метод получения случайных чисел

Можно ли считать, что примененный метод дает числа появляющиеся с одной и той же частотой? Принять α = 0,10.

Решение. Если метод дает случайные числа, то частоты появления цифр должны быть равны и

статистики равно: χв2 = 7,2

91

Рис.4.4. Решение примера 4.3

Так как квантиль c0,92 (9) = 14,7 , что превышаетcв2 , то гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот принимается на уровне значимости α = 0,10. Таким образом, следует считать, что метод действительно дает числа, появляющиеся с одной и той же частотой.

Такой же результат получим, введя данные в модуль Nonpar. Stat. пакета STATISTICA (рис.4.4).

заданного уровня значимости, следовательно, гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот принимается.

Задания для самостоятельной работы

1. Числа выпадений герба при 20 подбрасываниях двух монет распределились следующим образом:

92

Согласуются ли эти результаты с предположениями о симметричности монет и независимости результатов подбрасываний? Принять

α= 0,05.

2.Ниже приводятся данные о фактических объемах сбыта продукции (в условных единицах) в пяти районах:

Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах должен быть одинаковым? Принять α = 0,01.

3. На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей курса. Анализ вопросов, заданных 60 студентам, показал, что 23 студента получили вопросы из первой, 15 - из второй и 22 - из третьей части курса.

Можно ли считать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос по любой из трех частей курса? Принять α = 0,10.

4. В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже:

93

8. 200 отклонений размера вала от номинального значения (мкм):

95