LARIONOV

сечению потока распределение скоростей равномерное, т.е. вводят в рассмотрение среднюю скорость потока, а также среднее значение удельной энергии жидкости в данном сечении потока. Кроме этого, при выводе уравнения Бернулли для потока жидкости вводится второе допущение о том, что в пределах рассматриваемого поперечного сечения потока справедлив основной закон гидростатики, т.е. в пределах

поперечного сечения гидростатический напор одинаков для всех точек данного сечения: z + γp = const .

С учетом принятых допущений уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет иметь вид

где α1, α2 - коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения скоростей в данном поперечном сечении по сравнению со средней скоростью и называемые коэффициентами Кориолиса.

С физической точки зрения коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении, но подсчитанной при условии равномерного распределения скоростей (по средней скорости).

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем. Его значение зависит от степени неравномерности распределения скоростей в поперечном сечении потока и оно всегда больше единицы: для ламинарного режима (определение этого понятия будет дано ниже) в цилиндрическом трубопроводе α = 2, а

для турбулентного режима α находится в диапазоне от 1,045 до 1,10.

Физический смысл уравнения Бернулли для потока реальной жидкости имеет другое значение, чем для элементарной струйки идеальной жидкости. Если для струйки уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии, то для потока реальной жидкости оно является балансом энергии с учетом потерь энергии.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости на участке потока определенной длины, отнесенное к длине этого участка, называется гидравлическим уклоном:

1.3.5. Два режима движения жидкости

Исследование вопроса о механизме движения жидкости показывает, что в природе существуют два вида (режима) движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное, или ламинарное, движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и, во- вторых, неупорядоченное, или турбулентное, движение, при котором частицы жидкости движутся по сложным, постоянно меняющимся траекториям и в потоке происходит интенсивное перемешивание микро- и макромасс жидкости. Основной особенностью турбулентного режима течения является наличие поперечных к основному направлению движения составляющих скоростей, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.

Выяснению условий существования ламинарного или турбулентного режима течения жидкости,

влияния физических характеристик жидкости на переход из одного режима в другой были посвящены опыты Рейнольдса. Сущность этих опытов, которые обычно демонстрируются в любой гидравлической лаборатории, хорошо известны и в данном пособии не описываются.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости V, диаметр трубопровода d, плотность жидкости ρ, абсолютная вязкость μ, а переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенной скорости - критической скорости, различной для труб разных диаметров и возрастающей с увеличением вязкости жидкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы.

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был выведен безразмерный параметр Re, учитывающий влияние перечисленных выше факторов и называемый числом (критерием) Рейнольдса:

состояние потока. Таким образом, для определения режима течения необходимо в каждом случае вычислять по выражению (1.53) или (1.54) число Рейнольдса и сопоставлять его с критическим значением.

В опытах самого Рейнольдса значения Reкр были следующие: Reкр.н = 2000, Reкр.в = 12000 .

Последующие эксперименты показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и при определенных условиях неустойчивая зона может быть значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить из одного значения критического числа Рейнольдса,

равного Reкр = 2300 , считая, что при Re < 2300 всегда имеет место ламинарный режим, а при

Re > 2300 - всегда турбулентный. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения,

что приводит к некоторому запасу и большей надежности при гидравлических расчетах в том случае, если в этой зоне в действительности имеет место ламинарный режим течения.

Проведенные исследования особенностей различных режимов движения жидкости показывают, что

одновременно с переходом от ламинарного режима к турбулентному изменяется характер распределения скоростей по поперечному сечению потока, а также зависимость потерь энергии (напора). Установлено, что

для ламинарного режима характерен параболический закон распределения скоростей по поперечному сечению: скорость жидкости равна нулю непосредственно у стенок трубопровода, а при удалении от них плавно и непрерывно возрастает, достигая максимума на оси трубопровода (рис.1.7,а).

а б

Рис.1.7. Характер распределения скоростей по поперечному сечению потока при ламинарном (а) и турбулентном (б) режиме движения

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной и реальной жидкости.

4.Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли.

5.Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости.

6.Физический смысл коэффициента Кориолиса.

7.Основные отличительные признаки ламинарного и турбулентного режимов течения жидкости.

8.Критерий перехода ламинарного режима течения в турбулентный.

1.4.Гидравлические сопротивления

1.4.1. Виды гидравлических сопротивлений

Решение многих прикладных задач гидравлики сводится к определению зависимостей, связывающих между собой изменение скорости и давления в жидкости по длине потока. Обычно для этого используют два полученных ранее уравнения:

∙ уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности потока)

Q = νω = const;

∙ уравнение Бернулли

Не сложно заметить, что в этих двух уравнениях содержатся три неизвестных: Vср , p,Σh . Естественно,

для того чтобы приведенная выше система уравнений была определима, необходимо иметь третье уравнение, связывающее между собой неизвестные величины. Поскольку при решении практических задач

одним из наиболее важных вопросов является определение величины потерь энергии при движении жидкости по трубопроводу, целесообразным представляется в качестве третьего уравнения использовать зависимость между потерей напора и средней скоростью потока.

Причиной потерь напора при движении жидкости является преодоление двух видов сопротивлений:

Как показывают опыты, в большинстве (но не во всех) случаях гидравлические потери пропорциональны квадрату скорости жидкости в потоке, поэтому гидравлические потери напора можно представить следующим общим выражением:

Такая запись для величины гидравлических потерь удобна в практическом применении тем, что она включает в себя безразмерный коэффициент пропорциональности ξ , называемый коэффициентом сопротивления, и скоростной напор, входящий в уравнение Бернулли. Таким образом, коэффициент

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

сопротивления - это отношение потерянного напора к скоростному напору. Тогда местные гидравлические

потери могут быть определены выражением

где ξм - коэффициент потерь в местных гидравлических сопротивлениях (данное выражение называют формулой Вейсбаха).

Потери напора на трение (или потери по длине) в чистом виде возникают при движении жидкости по трубопроводам постоянного сечения, другими словами, при равномерном течении, и возрастают по длине пути, пройденному жидкостью. Как уже отмечалось, этот вид потерь обусловлен внутренним трением в жидкости и поэтому присутствует как в шероховатых, так и в гладких трубах. В общем случае величину

V 2

гидравлических потерь на трение можно выразить как hтр = ξтр 2срg , однако, коэффициент потерь на

трение ξтр предпочтительнее связать с относительной длиной трубопровода l/d. Для этого в трубопроводе выделим участок, длина которого равна диаметру трубопровода, и обозначим коэффициент потерь на трение λ. Тогда для всего трубопровода длиной l и диаметром d коэффициент потерь на трение будет в l/d

По своему физическому смыслу коэффициент сопротивления трению λ представляет собой величину, пропорциональную отношению напряжения на стенке трубопровода к динамическому давлению, подсчитанному по средней скорости.

Отсюда видно, что решение задачи по определению потерь напора в конечном итоге сводится к

определению коэффициентов местных гидравлических потерь и коэффициента потерь на трение для различных условий движения жидкости.

1.4.2. Потери на трение при ламинарном режиме движения жидкости

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямом цилиндрическом трубопроводе с внутренним диаметром d = 2r0 . Расположение трубопровода будем считать горизонтальным, тем самым исключается влияние сил тяжести. Произвольными сечениями 1 - 1 и 2 - 2 выделим в трубопроводе участок длиной l (рис.1.9).

Давление в сечении 1 - 1 равно p1 , в сечении 2 - 2 - p2 . Поскольку движение жидкости установившееся, диаметр по длине трубопровода постоянен, то постоянными вдоль потока будут скорость жидкости и коэффициент Кориолиса.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис.1.9. К определению потерь напора на трение при ламинарном режиме

Для данных условий уравнение Бернулли будет иметь вид

где hтр - потери напора на трение, которые из предыдущего выражения определяются как

Для нахождения выражения, определяющего зависимость потерь напора на трение от геометрических размеров трубопровода, физических характеристик жидкости и параметров движения жидкости, выделим в потоке соосный с трубопроводом цилиндр радиусом r . Так как движение выделенного объема жидкости равномерное, то сумма проекций на любую ось всех внешних сил, приложенных к выделенному объему, должна равняться нулю. Такими внешними силами являются, во-первых, силы давления в сечениях 1 - 1 и 2 - 2, равные произведению гидродинамического давления в этих сечениях на площадь сечения, во-вторых, сила сопротивления движению. Если сделать допущение о том, что все частицы жидкости в потоке движутся с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока, то сила сопротивления движению может быть определена как сила трения, возникающая на боковой поверхности выделенного цилиндра.

Тогда уравнение равенства нулю суммы внешних сил примет вид

( p1 − p2 )πr2 − 2πrlτ = 0 ,

отсюда τ = p2трlr , где τ - касательное напряжение на боковой поверхности выделенного цилиндра. Из

последнего выражения можно заметить, что касательные напряжения по поперечному сечению потока меняются в функции радиуса по линейному закону. Эпюра напряжений показана на рис.1.9.

Если переменную y в выражении (1.9) заменить на r , то закон Ньютона можно записать в виде

τ = −μ dVdr .

Тогда имеем

pтр r = −μ dV 2l dr

или

dV = − 2pμтрl rdr .

Интегрируя, получаем

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

V = − pтр r2 + C .

2μl 2

Постоянную интегрирования можно определить из граничных условий при r = r0 , V = 0:

C = 4pμтрl r02 .

Тогда текущее значение скорости на окружности произвольного радиуса в пределах размеров

Данное выражение, определяющее характер распределения скоростей по поперечному сечению потока при ламинарном режиме, известно под названием закона Стокса. Эпюра скоростей, представляющая собой квадратичную параболу, показана на рис.1.9.

Очевидно, что на оси потока (при r = 0) скорость будет иметь максимальное значение:

Полученный закон распределения скоростей позволяет определить расход жидкости. Вначале определим элементарный расход через кольцевую площадку бесконечной малой площади dω : dQ = Vdω

(рис.1.10)

Рис.1.10. Элементарная кольцевая площадка

При бесконечно малых размерах площадки dω ее можно заменить кольцом радиусом r и шириной dr .

Тогда с учетом выражения (1.59) имеем

dQ = 4pμтрl (r02 − r2 )2πrdr .

Отсюда можно определить среднюю скорость потока:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сравнивая выражения для средней и максимальной скорости, можно заметить, что при ламинарном режиме течения жидкости Vср = 0,5Vmax .

Если определить величину коэффициента Кориолиса для ламинарного потока, то получим значение

α = 2 . Таким образом, действительная кинетическая энергия ламинарного потока вдвое больше кинетической энергии того же потока, но подсчитанной по средней скорости.

Для определения коэффициента потерь на трение выражение (1.61) преобразуем относительно pтр :

= 8μQ pтр πr04 .

Если поделить данное выражение на γ, то получим потерю напора

Выражение (1.62), используемое для расчета трубопроводов при ламинарном режиме течения жидкости, называется законом Пуазейля.

Для того чтобы привести выражение (1.62) к виду (1.58), выразим расход через среднюю скорость и, проведя соответствующие преобразования, будем иметь

где λ = 64/Re - коэффициент сопротивления трения для рассматриваемого ламинарного режима течения жидкости.

1.4.3. Потери напора при турбулентном режиме движения

Как уже отмечалось, каждая частица жидкости в турбулентном потоке движется не только в направлении оси потока, как при ламинарном режиме, но участвует в неупорядоченном поперечном движении, т.е. совершает движение по сложной криволинейной траектории. Более того, через одну и ту же

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

точку пространства внутри потока жидкости одновременно могут проходить несколько частиц с различными скоростями как по величине, так и по направлению. Вследствие этого между соседними слоями жидкости возникает обмен частицами, вызывающий непрерывное перемешивание жидкости.

Данное обстоятельство позволяет заключить, что движение жидкости при турбулентном режиме всегда происходит со значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном режиме. При ламинарном режиме энергия расходуется только на преодоление сил внутреннего трения между слоями, движущимися с различными скоростями. Кроме этого, при турбулентном режиме значительная энергия затрачивается на процесс перемешивания, вызывающий в жидкости дополнительные касательные напряжения. При этом следует отметить, что в слоях жидкости, непосредственно прилегающих к стенкам трубопровода, имеются несколько другие условия течения. Наличие твердой границы резко ограничивает возможность поперечного движения части жидкости или полностью его исключает. Поэтому частицы жидкости движутся по извилистым траекториям, но средняя линия этих траекторий параллельна стенкам трубопровода. С учетом этого А.Д. Альтшулем была предложена следующая схема движения потока, обычно и принимаемая за основную рабочую схему при анализе турбулентного потока. По этой схеме (рис.1.11) вблизи стенок

трубопровода образуется весьма тонкий слой жидкости толщиной δл , в котором жидкость движется по

законам ламинарного режима.

V

Переходная зона

Пограничный

Ламинарный слой подслой

Рис.1.11. Схема турбулентного потока

Данный слой, называемый вязким или ламинарным подслоем, связан с основной частью потока (или ядром) тонкой переходной зоной. Совокупность вязкого подслоя и переходной зоны образует пограничный слой. За пределами пограничного слоя ядро потока движется турбулентно и, как уже отмечалось, с почти одинаковой для всех частиц жидкости осредненной скоростью.

В пределах вязкого подслоя скорость, как и в ламинарном потоке, резко возрастает от нуля у стенки

постоянным и имеет определенный универсальный смысл, как и постоянное критическое значение числа Рейнольдса для определения режима течения жидкости в трубах. То есть при увеличении скорости потока возрастает и Vл , а δл соответственно уменьшается и при очень больших значениях Re вязкий подслой практически исчезает.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.4.4. Шероховатость стенок трубопровода

При турбулентном режиме, как показывают опыты, величина потерь напора, распределение скоростей по поперечному сечению в наибольшей степени зависят от диаметра трубопровода, вязкости жидкости, скорости ее течения, а также от шероховатости стенок трубопровода.

Твердые стенки трубопровода, ограничивающие поток жидкости, всегда обладают определенной шероховатостью. Данное понятие характеризуется формой и различными по величине выступами и впадинами, имеющимися на поверхности стенок трубопровода. Величина этих неровностей зависит от материала стенок трубопровода и способа их обработки.

Основной характеристикой шероховатости, как известно, служит абсолютная шероховатость κ,

представляющая собой среднюю величину указанных выступов и впадин и измеряемую в линейных единицах (рис.1.12,а).

а

б

в

Рис.1.12. Влияние шероховатости стенки трубопровода

на режим течения жидкости

Соотношение между абсолютной шероховатостью и вязким подслоем имеет весьма большое значение для определения характера зависимости потерь напора от перечисленных выше факторов.

Пусть величина выступов шероховатости будет меньше, чем толщина вязкого подслоя (δл > κ) (рис.1.12,б). При этом неровности стенки будут полностью погружены в вязкий подслой и турбулентная

часть потока не будет входить в непосредственное соприкосновение со стенками трубопровода. В этом случае

характер движения жидкости и потери энергии не будут зависеть от шероховатости стенок, а будут определяться лишь свойствами самой жидкости, т.е. движение жидкости происходит в трубопроводе, в котором как будто отсутствует шероховатость.

Втех же случаях, когда величина выступов больше толщины вязкого подслоя (рис.1.12,в), неровности стенок будут выступать в турбулентную область потока (δл < κ), увеличивая тем самым беспорядочность движения и существенно влияя на величину потерь энергии.

Всоответствии с вышеизложенным в гидравлике вводят следующие условные понятия:

∙трубы, в которых потери напора (энергии) совершенно не зависят от шероховатости стенок, а зависят только от числа Рейнольдса, называются гидравлически гладкими;

∙трубы, в которых потери напора (энергии) совершенно не зависят от числа Рейнольдса (вязкости жидкости), а зависят только от шероховатости стенок, называются вполне шероховатыми;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com