Задачи и упражнения

1.55. Гребец направляет лодку поперек реки, однако течение относит ее так, что она движется под углом= 60к берегу со скоростьюv= 2 м/с. Определить скоростьv₁течения реки и скоростьv₂лодки в стоячей воде.

1.56. Из окна вагона, движущегося по горизонтальному прямолинейному участку с ускорениемм/с², выпал небольшой предмет. Чему равны ускорения этого предмета относительно землиa₁и относительно вагонаa₂?

1.57.Автоколонна двигается со скоростьюV₁ = 36 км/ч, растянувшись вдоль дороги на расстояниеL = 600 м. Из хвоста колонны в голову посылается машина сопровождения, которая затем возвращается обратно. Сколько времениТушло на поездку, если скорость этой машиныV₂= 72 км/ч?

1.58.Какова скорость капельvотвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом= 60к горизонту, когда скорость автомобиля становится большеV= 30 км/ч?

1.59.Моторная лодка проходит расстояние между двумя пристанями на одном и том же берегу реки за времяt₁= 1 ч, а плот проплывает то же расстояние заt₂= 4 ч. Сколько времениt₃затратит моторная лодка на обратный путь, если режим работы мотора останется прежним?

1.60.Два самолета летят горизонтально параллельно друг другу в противоположные стороны со скоростямиv₁ = 120 м/с иv₂= 130 м/с. В момент, когда оба самолета находятся на прямой, перпендикулярной направлению их движения, с одного из них стреляют в другой. Под каким угломк этой прямой следует направить ствол пушки, чтобы попасть в цель? Скорость снаряда относительно пушки считать постоянной и равнойv' = 500 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.61.Водитель автомобиля, движущегося со скоростьюv₁, начинает тормозить перед двигающимся впереди на расстоянииl= 25 м другим автомобилем, скорость которого равнаv₂= 40 км/ч. Определите максимально возможную скоростьv₁, при которой еще можно избежать столкновения, если ускорение при торможении равноa= 2 м/с².

Ускорение при криволинейном движении. Кинематика вращательного движения Примеры решения задач

1.Точка движется по окружности радиусомR= 20 см с постоянным касательным ускорениемa_= 5 см/с². Через сколько времениt₁после начала движения нормальное ускорениеa_nбудет равно тангенциальномуа_?

Решение.Тангенциальное ускорение изменяет скорость по величине. Поэтому закон изменения скорости с течением времени имеет такой же вид, как и при движении по прямой линии:

v = a_t. (1)

Нормальное же ускорение равно

(2)

Из (1) и (2) получим

По условию задачи в момент времени t₁

a_n = a_.

Поэтому откуда следует:

2.Маховик, совершавшийn₀= 10 оборотов в секунду, стал вращаться равнозамедленно с момента, когда был выключен мотор, и остановился заt= 4 с. Сколько оборотовNсделал маховик за это время?

Решение.При равнозамедленном вращении маховика до остановки частота вращения убывает линейно отn₀до нуля. В этом случае среднее значение частоты равно среднему арифметическому значений на концах промежутка времени:

Следовательно, за время t= 4 с маховик сделает

3. Диск радиусакатится без проскальзывания с постоянной скоростью(см. рис.). Найти скорости точекв системе отсчета, связанной с землей. Чему равна угловая скоростьвращения диска относительно оси диска?

Решение.Если диск движется без проскальзывания, то точки касания его с поверхностью должны иметь нулевую скорость. Следовательно, скорость точкиотносительно земли

. (1)

В системе отсчета, связанной с осью диска и движущейся поступательно со скоростью , движение диска представляет собой равномерное вращение вокруг его оси. В этой системе отсчета все точки на ободе, в том числе точкии, движутся по окружности с одинаковыми по величине скоростями. Найдем эти скорости из закона сложения скоростей и результата (1).

;

;

;

. (2)

Изобразим стрелками скоростив движущейся системе отсчета. Из связи между линейной и угловой скоростями получим:

. (3)

Для того, чтобы определить скорости точек иотносительно земли, воспользуемся законом сложения скоростей. Так. Найдем построением:

Итак, .

Далее находим .

Из геометрического сложения векторовивидно, что. Аналогично найдем:

.

.

Теперь изобразим стрелками скорости ив системе отсчета, связанной с землей.

Из этого рисунка видно, что диск движется так, что он как будто вращается относительно оси, проходящей через точку, при этом ось вращения меняет свое положение с течением времени. Эта ось называется мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси вращения можно определить построением, если известны скорости каких-либо двух точек тела. Для этого надо из этих точек провести перпендикуляры к их скоростям. Точка пересечения этих перпендикуляров и определяет положение мгновенной оси вращения.

Используя понятие мгновенной оси вращения, можно существенно упростить решение некоторых задач. Так, в нашем случае, рассматривая движение диска как вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку , и учитывая, что угловая скорость одинакова для всех точек, получим:

.

Отсюда следует:

.

4.Тонкий жесткий стерженьдвижется по поверхности стола так, что в данный момент времени скорость его концаравнаи направлена под угломк стержню. Определить скоростьконцастержня, если известно, что вектор направлен под угломк стержню.

Решение.Найдем построением положение мгновенной оси вращения, учитывая, что эта ось проходит через точку пересечения перпендикуляров к векторам скоростей, проведенных из точеки(см. рис.).

Принимая во внимание, что в данный момент времени стержень вращается вокруг оси, проходящей через точку , и при этом угловая скоростьодна и та же для любых точек стержня, в том числе для точеки, получим:

.

Отсюда следует:

.

Здесь и– расстояния от точекидо мгновенной оси вращения (см. рис.).

Отношение найдем из теоремы синусов для треугольника:

.

Следовательно, .

Замечание.Интересно отметить, что из полученного результата следует:. Это значит, что в данный момент времени проекции скоростей точеки, а также любой точки стержня на ось, совпадающую со стержнем, равны между собой, что является следствием жесткости стержня, то есть постоянства его длины.

5.Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько сместится каждый каток, когда платформа передвинется наl₁= 10 см.

Решение.Распределение скоростей точек, находящихся на вертикали, проходящей через центр окружности, показано на рисунке. Оно п

олучено из рассмотрения движения цилиндра как вращения вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку 0. Так, скорость центра катка

где v₁- скорость верхней точки цилиндра, равная также скорости платформы. Следовательно, за одно и то же время перемещение катка в два раза меньше перемещения платформы

6.С колес грузовика, движущегося по проселочной дороге со скоростьюкм/ч, срываются комки грязи. Диаметр колес автомобиля, вращающихся без проскальзываниясм. На какую максимальную высотунад дорогой поднимется тот комок грязи, который оторвался от точки внешней поверхности покрышки колеса, находящийся на высотесм над дорогой?

Решение.В системе отсчета, связанной с грузовиком, движение колеса является вращательным. При этом из отсутствия проскальзывания следует, что скорости точек на ободе в этой системе отсчета равны скорости автомобиля (см. решение задачи 3 этого раздела) и направлены по касательным к окружности. С этой же скоростью и в том же направлении в рассматриваемой системе отсчета полетит комок грязи, оторвавшийся от покрышки колеса (см. рис.). Таким образом, задача сводится к задаче о движении тела, брошенного под угломк горизонту с начальной скоростью. Из рисунка видно, что искомая высота равна

,

где (см. решение задачи 1, стр.31).

Из геометрических условий (см. рис.) находим:

,

.

Окончательно получим:

м.

Заметим, что в системе отсчета, связанной с землей, комок грязи поднимется на такую же высоту, однако в этой системе отсчета начальная скорость и угол будут другими.