Относительность движения Примеры решения задач

1.Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянииs₁ = 15 км от пристани, вниз по реке отправляетсямоторная лодка. Она дошла до поселка за времяt= 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянииs₂ = 9 км от поселка. Каковы скорость течения рекиVи скорость лодки относительно водыv'?

Решение.Выберем систему отсчета, связанную с плотом (с водой). В этой системе отсчета плот покоится, а лодка движется вверх и вниз по реке с одинаковой по величине скоростью. Следовательно, время удаления лодки от плота равно времени приближения к нему. Поэтому время движения плота до встречи с лодкой равно 2tи его скорость (скорость течения) равна

По закону сложения скоростей скорость лодки при ее движении вниз по реке относительно берега равна

v = v' + V.

С другой стороны

Cледовательно,

2.Скорость лодки в стоячей водеv' меньше скорости течения рекиVвn= 2 раза. Под каким угломк берегу нужно держать корпус лодки во время переправы, чтобы снос лодки был минимальным?

Решение.Если лодку направить по течению реки, то, очевидно, снос будет бесконечно большим (лодка никогда не переправится на противоположный берег).

Такой же результат получается в случае, если направить лодку вверх по течению реки. Значит, существует некоторое направление, при котором снос лодки минимален. Если - скорость лодки в стоячей воде, а- скорость течения реки, то скорость лодки относительно берега определится законом сложения скоростей:

.

Векторное сложение скоростей, соответствующее этому закону, показано на рисунке. Там же показаны система отсчета x0y, связанная с берегом, и угол, определяющий направление вектора. Очевидно, что величина сноса лодки равна

s = v_х  t, 

где v_x = V – vcos - проекция скорости на осьx, - время переправы. Здесьd - ширина реки, v_y - проекция скорости на осьy.

Запишем выражение для величины сноса в явном виде:

Минимум сноса соответствует минимуму выражения в скобках. Найдем угол , при котором достигается этот минимум из условия, что производная поот этого выражения должна равняться нулю в точке минимума. Дифференцирование дает:

Отсюда следует:

3. Приборы, установленные на корабле, идущем на север со скоростью V = 10 м/с, показывают скорость ветра v' = 5 м/с, а его направление - восточное. Что покажут аналогичные приборы, установленные на берегу?

Решение.По закону сложения скоростей скорость ветра относительно берега равна

Найдем эту скорость построением (см. рис.). Из рисунка следует:

4.Два корабля движутся перпендикулярными курсами с постоянными скоростямиv₁= 15 км/ч иv₂= 20 км/ч. В некоторый момент времени они находятся на расстоянииS = 10 км друг от друга, а вектор скорости первого корабля составляет с линией, соединяющие корабли, угол= 30. На какое минимальное расстояниеdкорабли сблизятся при своем движении?

Р

ешение.Положение кораблей в момент времени, соответствующий условию задачи, показано на верхнем рисунке. Рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с первым кораблем (см. нижний рис.). В этой системе первый корабль покоится, а второй движется прямолинейно со скоростью, определяемой из закона сложения скоростей:

И

скомое расстояниеd- это расстояние от первого корабля до прямой линии, по которой движется второй корабль в системе отсчета, в которой первый корабль покоится. Из рисунка и элементарных геометрических соображений находим:

Следовательно,

5.Скорость лодки в стоячей воде, скорость течения рекиv= 4 м/с, а ширина рекиL= 360 м. Под каким угломк берегу нужно держать нос лодки, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Чему равно это времяT_min? Какой путьSпроплывет за это время лодка?

Решение.По закону сложения скоростей скорость лодкиотносительно берега равна

Движение лодки можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит перпендикулярно берегу, а другое - по течению реки. Первое происходит со скоростью , а второе - со скоростью. Тогда времяT переправы на противоположный берег

Это время будет минимально в том случае, когда проекция скорости на ось y, перпендикулярную к берегу, максимальна, т.е. равна. В этом случае скоростьперпендикулярна берегу, т.е.= 90, а

Скорость лодки относительно берега Следовательно, за времяT_minлодка пройдет путь

6.Два пешехода движутся к перекрёстку по дорогам, пересекающимися под прямым углом. Найти их относительную скорость, если скорость первого пешеходакм/ч, а скорость второго -км/ч.

Решение.Изобразим на рисунке скорости пешеходов. По определению скорость первого пешехода относительно второго равна:

.

Найдем построением эту скорость (см. рис.).

Из рисунка видно, что

км/ч.