Свободное движение тел, брошенных под углом к горизонту Примеры решения задач

1.Тело бросили с поверхности Земли под углом= 60к горизонту с начальной скоростью v₀= 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) скорость тела через t= 2 с после начала движения;

б) время t₁, через которое скорость будет составлять с горизонтом угол= 30;

в) время полета тела Тдо падения на Землю;

г) максимальную высоту подъема Ни дальность полетаL;

д) уравнение траектории y(x), гдеxиy- координаты тела.

Решение.

а) Выбираем систему отсчетаx0y,показанную на рисунке. По своему характеру данное движение есть движение с постоянным ускорениемПоэтому закон изменения скорости с течением времени имеет вид:

Найдем проекции вектора скорости на оси координат, спроектировав это уравнение на оси xиy:

Из связи между модулем вектора и его проекциями на декартовые оси получим:

б) Если - угол между вектором скорости и горизонтальной осью в некоторый момент времениt₁, то:

откуда следует:

в) Запишем закон движения тела в векторном виде, учтя, что в начальный момент тело находилось в начале координат.

(1)

Здесь - радиус-вектор тела в момент времениt.

Спроектируем это уравнение на ось y:

(2)

Найдем время полета тела Тиз условия, что в этот момент координатаy= 0:

Один из корней полученного уравнения Т₁= 0 соответствует начальному положению тела, другой корень дает время полета тела:

г) Спроектируем уравнение (1) на ось x:

Найдем дальность полета тела Lиз условия L = x(T) :

(3)

Для того, чтобы определить максимальную высоту подъема Н, найдем время полета тела в наивысшую точку траектории из условия, что в этот момент времениТвектор скоростинаправлен горизонтально и, следовательно, проекция скорости на осьyv_y= 0, т.е.

откуда получим:

Очевидно, что

Заметим, что время подъема Т равно половине времени полетаТ. Следовательно, время подъема равно времени спуска.

д) Закон движения в координатной форме, определяемый соотношениями (2) и (3), по существу задает уравнение траектории через параметр t. Исключив этот параметр, получим уравнение траектории в явном виде:

(4)

Из (4) следует, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при x²отрицателен). Парабола проходит через начало координат (один из корней уравненияy(x) = 0 равен нулю).

2.Самолет летит на высотеh= 500 м по горизонтальной прямой со скоростью v₀= 100 м/с. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким угломк вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?

Решение.Движение бомбы можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит по горизонтали с постоянной скоростью v₀, а другое представляет собой свободное падение с нулевой начальной скоростью (см. рис.).

Искомый угол определяется очевидным соотношением:

где l- дальность полета по горизонтали. Эта величина равнаl= v₀t, гдеt- время полета бомбы находится из условия

Следовательно,

и, наконец,

;

3.Под каким угломк горизонту следует бросить камень со скоростьюv₀ = 20 м/с, чтобы он пролетел по горизонтали до падения на землю расстояние? Сопротивление воздуха пренебречь.

Решение.Запишем соотношение между дальностью полетаL, начальной скоростьюv₀, угломи ускорением свободного паденияg(см.(3) задачи 1 этого раздела):

Отсюда следует:

Здесь n– целые числа, значения которых найдем из очевидного условия:

Пусть n= 0. ТогдаПриn= 1

При других значениях nугол > 90. Итак, искомые углы равны:

4.Камень бросили горизонтально с большой высоты со скоростьюм/с. Определить черезс:

а) скорость камня и модуль приращения вектора его скорости;

б) модуль вектора перемещения камня.

Решение.а) В соответствии с выражением (1.12) скорость камня равна

,

где - ускорение свободного падения. Найдём построением скорость(см. рис.). Из полученного треугольника скоростей находим:

м/с.

По определению им/с.

б) Вектор перемещения равен

,

где , а, а его модуль

м.