- •43 Пособие по практике аг
- •Прочти, реши и опять прочти!..
- •Содержание:
- •Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.
- ••◄ Дополнительно ►•
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
- •Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
- •Занятие 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
- ••◄ Дополнительно ►•
•◄ Дополнительно ►•
Пример 9–371. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки: =(3,–1,–2), =(1,1,–2) и =(–1,3,0).
Решение:
Алгоритм:
1) строим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и в виде прямых линий и ;
2) находим центр окружности =;
3) вычисляем радиус окружности и сферы, которая будет содержать искомую окружность;
4) находим уравнение сферы радиуса с центром в точке и уравнение плоскости, содержащей заданные точки ;
5) строим систему уравнений для сферы и плоскости – это и будет искомая окружность в пространстве .
Реализуем принятый алгоритм:
1). Найдём координаты точек и . Из равенства = получаем (2,0,–2), из равенства = получаем (0,2,–1). Для прямых и строим векторы нормалей: ==(–1,1,0), ==(–1,1,1). Запишем уравнение : , также запишем : .
2). Находим координаты точки из системы: откуда (2,0,3).
3). Вычисляем радиус окружности (и сферы): ==. Записываем уравнение сферы с центром в точке радиуса : .
4). Строим вектор нормали плоскости , содержащей заданные точки: ==, или =(1,1,0). Записываем уравнение с учётом условия , именно :.
5). Записываем уравнение окружности в пространстве: как пересечение плоскости со сферой.
Ответ: окружность в пространстве: .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Как получают поверхности вращения 2-го порядка?
-
Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?
-
Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?
-
Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?
-
Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?
-
Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?
< * * * * * >
Задачи для самоподготовки:
Пример C8–1: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: .
Ответ: сфера с центром в точке (2,0,–1), радиуса 4.
Пример C8–2: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: однополостный гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при: =4, =2, =6.
Пример C8–3: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: конус вращения с центром в точке (0,0,0), при ===1.
Пример C8–4: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: ==1 и не определено.
Пример C8–5: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна, не определено.
Пример C8–6: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: =,=2 и =3.
Пример C8–7: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке (0,0,0), при: ===2.
Пример C8–8: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна, =–.
• •••☻••• •
Разработчик: к. т. н., доцент кафедры ВМ-2 ____________________ (А. И. Литвинов)