- •43 Пособие по практике аг
- •Прочти, реши и опять прочти!..
- •Содержание:
- •Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.
- ••◄ Дополнительно ►•
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
- •Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
- •Занятие 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
- ••◄ Дополнительно ►•
•◄ Дополнительно ►•
Пример 9–48: Заданы векторы: =(1,5,3), =(6,–4,–2), =(0,–5,7), =(–20,27,–35). Требуется подобрать числа так, чтобы образовалась замкнутая ломаная линия, составленная из векторов: , , и .
Решение:
Замечание: если рассеять туман из условия задачи, то имеется в виду что за счёт коэффициентов необходимо обеспечить: +++=0.
1). Рисунок отражает ситуацию, для которой: =1. Далее запускаем процесс:
→ , → , → .
2). Запишем равенство +++=0 в координатной форме:
3). Решая систему уравнений методом Гаусса, получаем: , , .
Ответ: числа: , , .
Пример 10–77: Зная, что =3, =1, =4 и имея равенство: ++=0 , вычислить сумму: ·+·+·.
Замечание: задачу можно отнести к этюду-шутке!
Решение:
1). Запишем сумму: . Применяя свойства скалярного произведения, получим: .
2). Учтём: ==9, ==1, ==16. Тогда: ·+·+·=–13.
Ответ: значение суммы: ·+·+·=–13.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение прямой?
-
Как записываются уравнения прямой линии в параметрической форме?
-
Что значит «уравнение прямой линии в отрезках»?
-
Как проводится «нормализация общего уравнения прямой линии»?
-
Что значит «угловой коэффициент» вектора, прямой?
-
Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
-
Что такое «отклонение» точки от заданной прямой, как его вычисляют?
-
Как определить, лежат ли заданные точки и в одной полуплоскости или в разных?
-
Как определить угол между заданными прямыми линиями?
-
Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых?
-
Как определить внутренний угол заданного треугольника?
Задачи для самоподготовки:
Пример C1–1: Найти длину и направляющие косинусы вектора =, если имеем =, =, =.
Ответ: длина вектора =; направляющие косинусы вектора: =, =, =.
Пример C1–2: При каких значениях величин и векторы = и = коллинеарны.
Ответ: значения: =–1, =–4.
Пример C1–3: Даны вершины треугольника : (3,–1,5), (4,2,–5), (–4,0,3). Найти длину медианы, проведённой из вершины .
Ответ: длина медианы:= 7.
Пример C1–4: Даны вершины треугольника : (1,–1,–3), (2,1,–2), (–5,2,–6). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине .
Ответ: длина биссектрисы: =.
Пример C1–5: Треугольник задан координатами своих вершин: (3,–2,1), (3,1,5), (4,0,3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
Ответ: расстояние: =.
Пример C1–6: Заданы векторы: =3, =4, угол между векторами и равен . Вычислить: а) скалярное произведение векторов =; б) ; в) .
Ответ: по пунктам: а) 9, б) –61, в) 13.
Пример C1–7: Заданы векторы: =(4,–2,–4), =(6,–3,2). Необходимо вычислить: а) ; б) ; в) направляющие косинусы вектора ; г) и , где – угол между векторами и .
Ответ: по пунктам: а) , б) , в) =, =, =, г) и =.
Пример C1–7: Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами: (–1,–2,4), =(–4,–2,0), =(3,–2,1).
Ответ: стороны: =, =5, =5; углы: =, =.
< * * * * * >