- •43 Пособие по практике аг
- •Прочти, реши и опять прочти!..
- •Содержание:
- •Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.
- ••◄ Дополнительно ►•
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
- •Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
- •Занятие 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
- ••◄ Дополнительно ►•
•◄ Дополнительно ►•
Пример 7–218 Куб задан своими вершинами: =(0,0,0), =(1,0,0), =(1,1,0), =(0,1,0), =(0,0,1), =(1,0,1), =(1,1,1), =(0,1,1). Выполнить следующие действия: а) написать уравнения прямых линий и ;
б) вычислить расстояние между прямыми линиями и ;
в) написать уравнение общего перпендикуляра между прямыми линиями и .
Решение:
Общее: хотя в геометрии чертёж обычно предназначен только для иллюстрации рассуждений, в рассматриваемом примере с помощью чертежа все задания можем легко выполнить, глядя на чертёж!
Для случая а):
1). Обозначим прямую линию как . Её направляющий вектор ==(1,1,–1). Учитывая, что прямая линия содержит точку ==(0,0,1), записываем каноническое уравнение этой прямой : .
2). Обозначим прямую линию как . Её направляющий вектор ==(0,1,1). Учитывая, что точка ==(1,0,0), принадлежит , записываем каноническое уравнение этой прямой : .
Для случая б):
1). Так как векторы и не параллельны, то и – скрещивающиеся прямые. Расстояние между ними определяется формулой: .
2). Вычислим: =x==∙ –∙j +∙k =(2,–1,1) → =. Вычислим вектор ===(1,0,–1). Вычислим: ==1. Тогда можем вычислить: =.
Для случая в):
1). Для удобства воспользуемся рисунком, который не привязан к кубу: просто имеются скрещивающиеся прямые и , и требуется получить уравнение их общего перпендикуляра: обозначен как прямая линия . Обозначим направляющий вектор прямой как . Он совпадает с вектором =(2,–1,1).
2). Теперь наметим укрупнённый алгоритм решения задачи:
▫ строим плоскость , содержащую точку и вектор нормали =;
▫ находим точку пересечения плоскости с прямой ;
▫ имея точку и вектор , получаем уравнение для прямой линии .
Реализуем намеченный алгоритм:
3). Вычислим для плоскости вектор нормали ===(–2, –2,2), примем (удобнее) за вектор нормали коллинеарный =(1,1,–1). Используя точку =(1,0,0) и вектор , запишем := 0, или : =0.
4). Из уравнения прямой линии : запишем ==, =. Из условия = можем записать: =0, откуда получаем = и =. Теперь можем записать уравнение : .
Замечание: в связи с используемым в задачнике ответом, который выражен как линия пересечения плоскостей и , полезно получить результат: =.
6). Вычислим для плоскости вектор нормали ===(0,–3,–3), примем (удобнее) за вектор нормали коллинеарный =(0,1,1). Используя точку =(0,0,1) и вектор , запишем := 0, или : =0.
7). В этом случае имеем : . Видим, что в задачнике плоскость записана с погрешностью. Проверка показывает, что точка не удовлетворяет второму уравнению!
Ответ: в случае: а) : , : ; б) =; в) : .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение плоскости?
-
Как записывается уравнение плоскости, проходящей через заданную точку?
-
Что значит «уравнение плоскости в отрезках»?
-
Как получают каноническое уравнение прямой линии в пространстве?
-
Какой физический смысл имеет параметрическое задание уравнения прямой в пространстве?
-
Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
-
Что такое «отклонение» точки от заданной плоскости, как его вычисляют?
-
Как нормализовать общее уравнение плоскости?
-
Как определить угол между заданными прямыми линиями в пространстве?
-
Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых в пространстве?
-
Какие задачи в пространстве вызвали наибольший интерес (восторг!)?
Задачи для самоподготовки:
Пример C5–1: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки и параллельно вектору , в случае: а) (1,2,0), (2,1,1), =(3,0,1); б) (1,1,1), (2,3,–1), =(0,–1,2).
Ответ: в случае: а) : =0; б) : =0.
Пример C5–2: Заданы две плоскости : =0 и : =0. Определить их взаимное расположение: пересекаются, параллельны или совпадают. Найти расстояние между плоскостями и косинус угла между ними.
Ответ: плоскости параллельны, расстояние между ними: =.
Пример C5–3: Заданы две плоскости и . Написать уравнение плоскости , равноудалённой от заданных плоскостей. Рассмотреть случаи:
а) : =0 и : =0;
б) : =0 и : =0.
Ответ: в случаях: а) : =0; б) : =0.
Пример C5–4: Определить, лежат ли точки (2,–1,1) и (1,2,–3) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух плоскостей, Для случая: б):=0 и : .
Ответ: в случае б) точки , расположены в вертикальных углах.
Пример C5–5: Составить каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки и . Рассмотреть случаи: а) (1,–2,1), (3,1,–1); б) (3,–1,0), (1,0,–3).
Ответ: в случае: а) : , б) :.
< * * * * * >