- •43 Пособие по практике аг
- •Прочти, реши и опять прочти!..
- •Содержание:
- •Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.
- ••◄ Дополнительно ►•
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
- •Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
- •Занятие 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
- ••◄ Дополнительно ►•
Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
☺ ☻ ☺
Контрольная работа №1 предназначена оценить степень усвоения основных терминов, определений и свойств геометрических фигур, изучаемых «Аналитической геометрии».
Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».
При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.
Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Так же важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.
Прием части-1 БДЗ. Приём БДЗ определяется двумя последовательными мероприятиями:
1). Формальный приём выполненных Заданий непосредственно в аудитории: проверка на соответствие правилам закрепления вариантов заданий за каждым студентом.
2). Контроль выполненных Заданий преподавателем: проверка правильности решения заданий и соответствия требованиям по оформлению каждого задания БДЗ.
3). Защита выполненных заданий БДЗ каждым студентом в специально назначенное время (обычно, в день консультаций по предмету). Определение окончательной оценки качества выполнения Части-1 БДЗ.
Замечание: 1). Сборник заданий по БДЗ находится в информационной системе института с самого начала семестра, постоянно.
2). Сборник заданий по БДЗ содержит по каждому заданию примеры решения и оформления.
< * * * * * >
Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
☺ ☻ ☺
Окружность: основные определения и формулы:
Если точка – произвольная точка плоскости, а точка – фиксированная точка, то = – векторная форма записи окружности, в координатной форме уравнение окружности имеет вид:
→ нормальное уравнение. (1)
Если центр окружности находится в начале координат (0,0), то уравнение (1) принимает простейший вид: → каноническое уравнение. (2)
Если вместо выражения (1) имеем равенство: , то нетрудно получить выражение: . (3)
В зависимости от величины Е могут реализоваться такие случаи:
1). > 0 , то есть → окружность: .
2). = 0 → , выполняется для одной точки (x0,y0) .
3). < 0 , то есть → – мнимая окружность.
••• ≡ •••
Пример 1–242: Пусть – центр окружности, – радиус окружности, ,,, – точки окружности. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) (2,–3), =7; 2) (2,6), (–1,2); 3) (3,2), (–1,6) – концы диаметра окружности; 4) (1,–1), прямая линия : =0 касается окружности; 5) (1,2) – точка окружности, окружность касается координатных осей; 6) (3,1), (–1,3) – точки окружности, принадлежит прямой : =0; 7) (–1,3), (0,2), (1,–1) – точки окружности.
Решение:
1). Сразу записываем уравнение окружности: .
2). Из условия имеем: ==(2,6)–(–1,2)=(3,4) → ==5. Тогда уравнение окружности: .
3). Так как центр окружности делит заданный отрезок пополам, то =, откуда: 2=+=(2,8) → =(1,4). В то же время ==(–4,–4) → =2. Тогда уравнение окружности: .
4). Радиус окружности равен расстоянию до касательной. Нормируем уравнение прямой линии и находим отклонение точки от этой прямой: ==2 → =2. Тогда – уравнение окружности.
5). Обозначим радиус окружности =. Учитывая свойство касания окружности осей координат, запишем уравнение окружности: . Так как точка принадлежит окружности, то необходимо: . Из уравнения получаем два корня: =1 и =5. Решение: или .
6). Точки (3,1) и (–1,3) выделяют на окружности хорду . Известна теорема, что прямая линия , проходящая через середину хорды окружности и ей перпендикулярная, проходит через центр этой окружности.
Найдём уравнение . Из равенства 2= находим (1,2). Запишем =(–2,1)=. Тогда уравнение : , или .
Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: находим координаты центра (2,4). Радиус окружности: ===. Тогда: – уравнение искомой окружности.
7). Найдём уравнение . Из равенства 2= находим . Запишем =, примем =(3,–1). Тогда уравнение : , или .
Найдём уравнение . Из равенства векторов = имеем 2=, находим . Запишем =, примем =(1,–3). Тогда уравнение :, или .
Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: → (–4,–1). Радиус окружности: ===5. Тогда: – уравнение искомой окружности.
Ответ: 1) , 2) , 3) ,
4) , 5) , 6) ,
7) .
☺ ☻ ☺
Эллипс: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Если принять, что – большая полуось, то фокусы эллипса располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , – большая полуось, – малая полуось. Величины ,, связаны соотношением: =–.
Важной характеристикой эллипса является величина: – эксцентриситет, которая определяет степень сжатия окружности вдоль оси .
Для вычисления расстояний до фокусов используют выражения: =, =, причём +=2.
Особое место в свойствах эллипса занимают прямые линии: и – директрисы. Положение директрис определяет число: .
••• ≡ •••
Пример 2–246: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть эллипс, записать его каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис.
Решение:
1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение эллипса с фокусами, расположенными на оси .
2). Полуоси эллипса: =5, =3. Вычислим: =–=16. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =.
Ответ: а) уравнение эллипса , =5, =3; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =–, : =.
Пример 3–252: Главные оси эллипса совпадают с осями координат. Точки и (0,2) принадлежат эллипсу. Написать уравнение эллипса, найти фокальные радиусы точки и расстояние этой точки до директрис.
Решение:
1). Воспользуемся уравнением: . Обозначив (для удобства!): = и =, для точек и запишем систему: откуда = и =. Можем записать уравнение эллипса: . Причём, =–=12 и тогда запишем =.
2). Вычислим фокальные радиусы для точки , принадлежащей эллипсу: именно ==. =.
3). По определению директрисы, расстояние точки до левой директрисы вычисляем как ==, а до правой как ==.
Ответ: уравнение эллипса , фокальные радиусы =, =; расстояния до директрисы : =, до директрисы : =.
Пример 4–254: Написать уравнение кривой, по которой движется точка , если сумма расстояний от неё до точек (–1,–1) и (1,1) остаётся постоянной и равна .
Решение:
1). Расстояние от точки до точки определяется выражением: =, а до точки выражением: =. По условию : =.
2). Выполнив тождественные преобразования выражения , окончательно запишем уравнение кривой линии, по которой движется точка , именно : .
Ответ: уравнение кривой линии : .
☺ ☻ ☺
Гипербола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами:
Пусть фокусы гиперболы располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: , причём < и . Эксцентриситет гиперболы: . Фокальные расстояния определяются выражениями:
– левая ветвь → (–) =–2.
– правая ветвь → (–) =2.
Директрисы гиперболы и определяются параметром . Асимптоты гиперболы определяют выражения: = ± .
Замечание: для принятого расположения фокусов ось называют действительной осью гиперболы, ось – мнимой осью.
••• ≡ •••
Пример 5–265: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.
Решение:
1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на оси .
2). Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: =+=25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =. Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .
Ответ: а) уравнение гиперболы , =3, =4; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =–, : =, асимптоты: = ± .
Пример 6–269: Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.
Решение:
1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =3, с центром в точке (2,–3).
2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно переписать из Примера 5-265. Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: =+=25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: ==. Вычислим параметр директрисы: ==. Уравнения директрис : =–, : =. Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .
3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : =, : = и для асимптот +3 = ± . Фокусы: =, =.
Ответ: а) уравнение гиперболы , =3, =4; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =, : =, асимптоты: +3 = ± .
☺ ☻ ☺
Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку – фокус и прямую : = – директрису:
Используя принятые на рисунке обозначения, в соответствии принятым определением параболы , легко получают каноническое уравнение параболы . (17)
Для параболы имеем: – эксцентриситет.
Замечание: рисунок и расположение директрисы и фокуса соответствуют случаю, когда и осью параболы является ось .
••• ≡ •••
Пример 7–285: Построить параболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Найти параметр для каждой параболы.
Решение:
1). Перепишем уравнение: . Имеем параболу с параметром =2, причём график заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 2.
2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =, ветви параболы направлены вверх.
3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =–2, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси .
4). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =–, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси .
•◄ Дополнительно ►•
Пример 8–274. Записать уравнение гиперболы, если известно, что её фокусами являются точки =(–3,–4) и =(3,4), а расстояние между директрисами равно 3,6.
Решение:
1). Легко заметить, что точки и расположены симметрично относительно начала координат и расстояние между ними равно 10. Так как известно, что заданная кривая есть гипербола, то воспользуемся системой координат , в которой фокусы и гиперболы располагаются на оси и имеют координаты: (–5,0) и (5,0).
2). Так как параметр директрисы ==, то из условия: = запишем =9. Теперь можем вычислить: =–=16 и записать каноническое уравнение гиперболы в системе координат : .
3). Система координат получена из системы координат поворотом относительно точки на угол , такой что: = и =. Воспользуемся формулами перехода: → (S)
Подставляя (S) в каноническое уравнение гиперболы: достаточно просто получаем уравнение заданной гиперболы в координатах : .
Ответ: уравнение гиперболы: .
Пример 9–293. Записать уравнение касательной к параболе , параллельной прямой линии: .
Решение:
1). Перепишем уравнение касательной: . Отсюда получаем угловой коэффициент касательной: =–1.
Замечание: можно было бы воспользоваться универсальными средствами математического анализа и выделить на параболе точку, в которой .
2). Воспользуемся готовым уравнением касательной к параболе в точке , именно: → .
3). В нашем случае =4. Тогда для точки получаем: =–1. Из равенства: получаем =2. Можем записать уравнение касательной: .
Ответ: уравнение касательной: .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Что такое окружность, эллипс?
-
Что такое гипербола?
-
Что такое парабола?
-
Что такое эксцентриситет кривой второго порядка?
-
Что такое директриса для кривой 2-го порядка?
< * * * * * >
Задачи для самоподготовки:
Пример C7–1: Написать уравнение диаметра окружности: , перпендикулярного прямой линии : .
Ответ: уравнение диаметра : .
Пример C7–2: Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: 1) =3, =2; 2) =5, =4; 3) =3, =; 4) =5, =; 5) =2, 2=5; 6) =, 2=32.
Ответ: для случаев: 1) , 2) , 3) , 4) .
5) , 6) .
Пример C7–3: На эллипсе: найти точку, расстояние которой до фокуса в 4 раза больше расстояния до фокуса .
Ответ: точка: .
Пример C7–4: Написать уравнение кривой, по которой движется точка , если расстояние её до точки (3,0) остаётся в 2 раза меньше расстояния до прямой линии :.
Ответ: уравнение кривой линии : .
Пример C7–5: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.
Ответ: а) уравнение гиперболы , =4, =3; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =–, : =, асимптоты: = ± .
Пример C7–6: Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.
Ответ: а) уравнение гиперболы , =8, =6; б) фокусы =, =; в) эксцентриситет =; г) директрисы : =–, : =, асимптоты: –1 = ± .
Пример C7–7: Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что: 1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично оси и =; 2) парабола расположена симметрично оси и проходит через точку (4,–8); 3) фокус параболы расположен в точке (0,–3).
Ответ: параболы: 1) , 2) , 2) .
< * * * * * >