- •43 Пособие по практике аг
- •Прочти, реши и опять прочти!..
- •Содержание:
- •Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.
- ••◄ Дополнительно ►•
- ••◄ Дополнительно ►•
- •Занятие 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 бдз.
- •Занятие 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка.
- •Занятие 8. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
- ••◄ Дополнительно ►•
•◄ Дополнительно ►•
Пример 6–100: Упростить выражения: 1) =,
2) =,
3) =,
4) =,
Решение:
Воспользуемся таблицей векторного умножения единичных ортогональных векторов :
-
xi=0
x= –
x=
x=k
x=0
x= –i
x= –
x=
x=0
Замечание: использование цикла подсказывает результат: если в левой части пара букв названа в направлении движения по стрелке, то в правой части называем третью букву со знаком плюс, если пара букв названа против направления стрелки, то в правой части появляется знак минус.
1). Используя таблицу умножения, запишем: ==.
2). Упростим: ==.
3). Упростим: ==.
4). Используя таблицу умножения, запишем: ==3.
Ответ: выражения: 1) , 2) , 3) , 4) 3.
Пример 7–103: Векторы , и удовлетворяют условию: . Доказать, что верны равенства: .
Решение:
Аналитический способ:
1). Докажем, что: – доказано!
2). Докажем, что: – доказано!
Замечание: преобразования в пунктах 1) и 2) учитывают свойства векторного произведения.
Геометрический способ:
1). Векторное равенство: означает, что последовательная цепочка векторов ,, замыкается в виде треугольника!
|
|
|
2). Это значит, что – удвоенная площадь треугольника, образованного векторами ,,. На рисунках последовательно представлены векторные произведения: , , .
3). Так как в выражениях векторы ,, применяются в соответствии с циклической перестановкой: , то , что завершает доказательство, так как теперь имеем !
Замечание: одновременное применение аналитического и геометрического способов делает задачу особенно привлекательной!
Ответ: доказательство представлено в тексте!
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Что значит «тройка векторов ,,»?
-
Какие свойства векторного произведения относят к геометрическим свойствам?
-
Какие свойства векторного произведения относят к алгебраическим свойствам?
-
Какой физический смысл векторного произведения (в механике)?
-
Как при помощи векторного произведения проверить, являются ли векторы , коллинеарными?
-
Как можно вычислить площадь «пространственного треугольника»?
-
Что такое векторно-скалярное (скалярно-векторное) произведение векторов ,,?
-
Как можно вычислить высоту параллелепипеда, построенного на тройке векторов ,,, приведенных к общему началу?
-
Как можно определить тип тройки векторов ,,, заданных их декартовыми координатами?
-
Как проверить, являются ли векторы ,, компланарными?
Задачи для самоподготовки:
Пример C3–1: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1,1,1), (2,3,4), (4,3,2).
Ответ: площадь треугольника: =2.
Пример C3–2: При каких значениях и вектор = коллинеарен вектору =, если =(3,–1,1) и =(1,2,0).
Ответ: значения: =–6, =21.
Пример C3–3: Силы =(2,–1,–3), =(3,2,–1), =(–4,1,3) приложены к точке =(–1,4,2). Определить суммарный момент сил относительно точки =(2,3,–1): вычислить величину и направляющие косинусы.
Ответ: =7 и =, =0, =.
Пример C3–4: Заданы векторы: =(1,–1,3), =(–2,2,1), =(3,–2,5). Вычислить . Какова ориентация троек: а) ,,; б) ,,; с) ,,.
Ответ: в случаях: а) левая тройка, б) и в) тройки правые.
Пример C3–5: Доказать, что четыре точки: =(1,2,–1), =(0,1,5), =(–1,2,1), =(2,1,3) лежат в одной плоскости.
Ответ: доказано применением смешанного произведения: =0.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее, параметрическое, каноническое, через угловой коэффициент, проходящее через две точки. Определение угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.
☺ ☻ ☺
Если на плоскости заданы точка и вектор , перпендикулярный прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:
: = 0, (1)
уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение прямой линии.
Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением прямой линии в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от прямой линии , определяемое выражением: =, и расстояния: .
Если заданы точки: , , принадлежащие , то уравнение прямой в этом случае удобно записать в виде: , где . В этом случае имеем: .
Если выбрать точки специально: , , то уравнение прямой линии можно записать в виде: – уравнение в отрезках.
Если прямая линия задана точкой и направляющим вектором , то уравнение записывают в виде: – каноническое уравнение.
Учитывая, что векторы = и = взаимно перпендикулярны, имея направляющий вектор прямой , мы можем записывать сразу:
, или , где =. (2)
Замечание: аналогично: имея вектор , можем сразу записать =, а потом выбирать вариант записи уравнения в общем виде или в канонической форме!
••• ≡ •••
Пример 1–141: Прямая линия задана точкой и вектором нормали =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: а) точка (–1,2), =(2,2); б) (2,1), =(2,0).
Решение:
Общие формулы: общее уравнение: , где =; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .
1). Для случая а) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =– → = .
2). Для случая б) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение =–2 → = 2.
Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, =; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =2.
Пример 2–142: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи:
а) точка (–1,2), =(3,–1); б) (1,1), =(0,–1).
Решение:
Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!
Общие формулы: учтём, что векторы = и = взаимно перпендикулярны; заменяем на = и далее применяем все выражения предыдущего Примера: общее уравнение , где =; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .
1). Для случая а) имеем =(1,3): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =– → = .
2). Для случая б) имеем =(1,0): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение =–1 → =1.
Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, =; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.
Пример 3–144: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи: а) : =0, точка (–1,2).
Решение:
Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!
Общие формулы: имея уравнение прямой, записываем: = – вектор нормали и = – направляющий вектор, они взаимно перпендикулярны; векторы и будут использованы для построения прямой, проходящей через точку параллельно или перпендикулярно заданной прямой ; получение нормального уравнения и вычисление расстояние от точки до прямой выполняется также, как и в предыдущих примерах.
1). Для случая а) вычисляем = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =·=3 → = .
2). Первый способ. Прямая, перпендикулярная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–3. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(–2,1). После этого можем записать каноническое уравнение : .
3). Первый способ. Прямая, параллельная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–4. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(1,2). После этого можем записать каноническое уравнение : .
Ответ: в случае: а) расстояние от точки : =, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : .
Пример 4–150: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: а) (1,2), (2,–2), (6,1).
Решение:
Общие формулы: уравнение , содержащей точки , , записывают в виде: , где .
Замечание: представлена только основная формула, другие уже использовались в решённых примерах, и будут раскрываться по мере необходимости!
1). Найдём уравнение прямой . Вычислим =–4, и запишем уравнение : , или в виде .
2). Используя условие , можем записать : . Вычислим из условия: , то есть: , откуда =–2. Окончательно : .
3). Вычислим = как расстояние от точки до прямой линии . Нормируем уравнение и вычисляем: =·=·19 → = .
4). Вычислим угол . Если обозначить угловой коэффициент вектора как , то, используя величину =, можем записать: =. Вычислим координаты точки , учитывая, что – медиана: ==(7,3), тогда ==(3,7). Теперь можем записать: = и вычислить =. Используя формулу тригонометрии: , вычислим =.
5). Нахождение уравнений и можно было бы решать традиционно: имея угловые коэффициенты векторов и , найти угловые коэффициенты названных прямых и получить нужные уравнения.
Мы не станем применять этот способ: он более трудоёмкий. К тому же ответ, используемый задачником, будет получить весьма трудно!
Воспользуемся тем, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла!
Найдём уравнение прямой =. Вычислим =–, и запишем : . Легко нормируя уравнения для прямых линий и , можем записать:
:=–, учтено, что угол , (5)
:=, учтено, что угол . (6)
Замечание: обоснование формул (5) и (6), а также особенности их применения показано в Пособии по аналитической геометрии и в Пособии БДЗ!
Используя записи (5) и (6), достаточно просто получаем записи, используемые в ответах Задачника : ,
:
Ответ: уравнения : , : , высота треугольника ==, для угла ^ имеем =, уравнения биссектрис: :=0,
:=0.
Пример 5–173: Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (2,6), а также уравнения высоты : и биссектрисы :, проведенных из одной вершины.
Решение:
1). Имея уравнения медианы и высоты , определим координаты точки = из системы уравнений: Решение системы: = (–1, 2).
2). Уравнение прямой (обозначим ) определим по свойству принадлежности . Так как ==(3,4), то уравнение прямой можем записать в виде выражений : , или .
3). Уравнение стороны (обозначим ) определим по свойству . Сразу можем записать : , причём определяется условием: , то есть: , откуда получаем: = –20. Окончательно : .
4). Для прямых и запишем их угловые коэффициенты: =, =–7, соответственно. Для прямой линии вычислим из условия, что биссектриса угла треугольника:
=, или =, откуда =–.
Так как то : , или : .
Ответ: уравнения : , : , : .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение прямой?
-
Как записывается уравнение прямой в параметрической форме?
-
Что значит «уравнение прямой в отрезках»?
-
Как проводится «нормализация общего уравнения прямой»?
-
Что значит «угловой коэффициент» вектора, прямой?
-
Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
-
Что такое «отклонение» точки от заданной прямой, как его вычисляют?
-
Как определить, лежат ли заданные точки А и В в одной полуплоскости или в разных?
-
Как определить угол между заданными прямыми?
-
Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых?
-
Как определить внутренний угол заданного треугольника?
Задачи для самоподготовки:
Пример C4–1: Прямая линия задана точкой и вектором нормали =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (1,1), =(2,–1).
Ответ: в случае: в) общее =0, нормальное ·()=0, =.
Пример C4–2: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (–1,1), =(2,0).
Ответ: в случае: в) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.
Пример C4–3: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи:
б) : =0, точка (1,0); в) : =0, точка (0,–1).
Ответ: в случае: б) расстояние: =, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : ;
в) расстояние: =0, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : .
Пример C4–4: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: б) (2,–2), (6,1), (–2,0).
Ответ: уравнения : , : , высота треугольника ==4, для угла ^ имеем =, уравнения биссектрис :, :=0.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее, неполное, в отрезках, проходящее через три точки, проходящее через точку нормально данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Канонические уравнения прямой в пространстве.
☺ ☻ ☺
Если в пространстве заданы точка и вектор , перпендикулярный плоскости , то уравнение этой плоскости можно записать в виде:
: = 0, (1)
уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение плоскости.
Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением плоскости в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от плоскости , определяемое выражением: =, и расстояния: . Нормальное уравнение плоскости также записывают в виде:
: . (2)
Если в пространстве заданы три точки , , , то уравнение плоскости записывают в виде:
: . (3)
Выберем точки специально: , ,. Получим уравнение плоскости в виде: – уравнение в отрезках. (4)
Если прямая линия в пространстве задана точкой и направляющим вектором , то её уравнение записывают в виде:
: – каноническое уравнение. (5)
Частным случаем уравнений (5) являются уравнения для случая, когда заданы две точки: , , принадлежащие : достаточно в уравнениях (5) принять: = и :
: или (6)
Используя уравнения (5), легко получить специальную запись уравнений, широко применяемых в механике:
: – параметрическая форма уравнений прямой линии. (7)
При решении многих задач полезно определение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей
: и : .
В этом случае уравнение прямой линии может быть представлено в виде системы уравнений: (8)
Конечно, система (8) определяет прямую линию лишь в случае, если плоскости пересекаются. Признак пересечения достаточно просто наблюдается: векторы нормалей плоскостей = и = не параллельны!
Плоскости , имеющие общую точку , пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Учитывая свойства прямой, можно продолжить: плоскости в этом случае имеют бесчисленное множество общих точек. Пусть имеем плоскости:
Удобно использовать формулы: – для вычисления угла между плоскостями и ; – для вычисления угла между плоскостью и прямой линией .
Для нахождения точки пересечения прямой линии с плоскостью применяют общее уравнение плоскости и уравнение прямой линии в виде (7). Тогда:
. (9)
Вычисляя из (9) значение параметра , затем используя уравнения (7), легко получают координаты точки пересечения.
Замечание: представленные формулы помогут достаточно быстро вспомнить результаты из теории аналитической геометрии, применяемые в рассматриваемом Занятии!
••• ≡ •••
Пример 1–182: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам и , в случае: а) (1,1,1), =(0,1,2), =(–1,0,1); б) (0,1,2), =(2,0,1), =(1,1,0).
Решение:
Замечание: задачу можно решить не одним способом; для сравнения к случаям а) и б) применим разные способы решения!
Для случая а):
1). Вычисляем вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : ====(1,–2,1).
2). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :
: = 0, или : =0.
Для случая б):
1). Для произвольной точки искомой плоскости , построим (используя известное правило) вектор ==.
2). Воспользуемся условием компланарности трёх векторов , , и : =0, откуда получаем уравнение плоскости : =0.
Ответ: в случае: а) : =0; б) : =0.
Пример 2–185: Заданы две плоскости : =0 и : =0. Определить их взаимное расположение: пересекаются, параллельны или совпадают. Найти расстояние между плоскостями и косинус угла между ними.
Решение:
1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(–1,2,–1), =(0,1,3). Из записи нормалей следует, что плоскости пересекаются. Это значит, что расстояние между плоскостями равно 0.
2). Вычислим: ==, где – угол между плоскостями и . Учитывая, что угол между плоскостями острый, в ответ запишем значение: =.
Ответ: плоскости пересекаются, причём: =.
Пример 3–192: Заданы две плоскости. Написать уравнение плоскостей и , делящих пополам двугранные углы. Рассмотреть случаи:
а) : =0 и : =0;
б) : =0 и : =0.
Решение:
Для случая а):
1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(1,–3,2), =(3,–2,–1). Нетрудно заметить, что ==. Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: =+=(4,–5,1) и =–=(–2,–1,3).
2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : . Запишем общее уравнение плоскости:
: = 0, или : =0.
: = 0, или : =0.
Для случая б):
1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,–5,2). Нетрудно заметить, что ==. Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: =+=(3,–6,7) и =–=(1,4,3).
2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : (–1,0,1). Запишем общее уравнение плоскости:
: = 0, или : =0.
: = 0, или : =0.
Ответ: а) : =0, : =0; б) : =0, : =0.
Пример 4–194: Определить, лежат ли точки (2,–1,1) и (1,2,–3) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух плоскостей. Рассмотреть случаи: а) : =0 и : =0.
Решение:
0). Учитывая, что в рассматриваемой задаче не требуется измерение отклонений при помощи единичного вектора, а достаточно знать только знаки отклонений точек и от плоскостей и , будем использовать непосредственно общие уравнения заданных плоскостей. Подставляя координаты точек и в уравнения плоскостей и , получим величины: , затем , . Сопоставление знаков этих величин позволит определять взаимное расположение точек , относительно плоскостей и .
1). Вычислим для варианта а): для точки : =32–(–1)+23–3>0 и =2–2(–1)–3+4>0 это значит, что точка располагается над плоскостью и над плоскостью ; для точки : =31–2+2(–3)–3<0 и =1–22–(–3)+4>0. Это значит, что точка располагается под плоскостью и над плоскостью . Следует: точки , расположены в смежных углах над плоскостью . На рисунке показано положение точек , относительно плоскостей и , соответствующее полученному решению.
Замечание: исключение операции нормализации общих уравнений плоскостей и существенно снижает трудоёмкость решения примера.
Ответ: в случае а) точки , расположены в смежных углах (над плоскостью ).
Пример 5–196: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку (1,1,–1) перпендикулярно плоскостям : =0 и : =0.
Решение:
Замечание: задачу можно решить не одним способом; лучше свести к уже использованному решению!
1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,3,–1).
2). Примем: = и =. В таком случае мы имеем Пример 1-182: через точку провести плоскость параллельно заданным векторам!
3). Вычислим вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : ====(2,–1,–1).
4). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :
: = 0, или : =0.
Ответ: уравнение плоскости: : =0.
Пример 6–198: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (2,0,–3) параллельно: 1) вектору =(2,–2,5); 2) прямой: ; 3) оси ; 4) оси ; 5) оси .
Решение:
Общее: Каноническое уравнение прямой : , где – точка, принадлежащая прямой, – направляющий вектор прямой. В нашем случае общая точка (2,0,–3) для всех случаев фиксирована. Поэтому : .
1). Направляющий вектор задан явно. Имеем :.
2). Направляющий вектор задан параллельной прямой. Имеем :.
3). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(1,0,0). Имеем :.
4). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,1,0). Имеем :.
5). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,0,1). Имеем :.
По всем заданным вариантам получены окончательные результаты: записываем ответ.
Ответ: 1). ; 2). ; 3) ;
4). ; 5) .