Занятие 2. Определители 2-го порядка и системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 3-го порядка. Простейшие правила вычисления определителей.

☺ ☻ ☺

Определители 2-го и 3-го порядков появились в связи с решением систем линейных уравнений 2-го и 3-го порядков. Этот факт мы будем наблюдать при изучении определителей произвольного порядка. В настоящем параграфе рассматриваются только формальные правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков: этого будет достаточно при изучении векторного произведения двух векторов, а также в некоторых геометрических задачах на плоскости и в пространстве.

Определители 2-го порядка.

Определителем 2-го порядка называют число, представленное в виде специальной записи: ==. (1)

Говорят, что правая часть выражения (1) определяет правило вычисления определителя 2-го порядка. При использовании определителя применяют термины:

▫ элементы определителя – числа a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂;

▫ строки определителя: 1-я строка: пара чисел: a₁₁,a₁₂ , 2-я строка: пара чисел a₂₁,a₂₂;

▫ столбцы определителя: 1-й столбец: пара чисел: a₁₁,a₂₁, 2-й столбец: пара чисел a₁₂,a₂₂;

▫ члены определителя: (a₁₁·a₂₂) и (–a₂₁·a₁₂).

При внимательном рассмотрении соответствия (1) нетрудно заметить правило использования элементов определителя для записи суммы левой части выражения (1). Для записи положительного члена определителя (a₁₁·a₂₂) используют схему:

Для записи отрицательного члена определителя (–a₂₁·a₁₂) используют схему:

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 2-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример 2–1: Вычислить определитель 2-го порядка: =.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: ==.

2). В нашем примере: d=(-1)·2–(-5)·4 = 18.

Ответ: =18.

Пример 2–6: Вычислить определитель 2-го порядка: =.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: ==.

2). Прежде, чем вычислять определитель, воспользуемся формулами тригонометрии:

=, =, =.

2). Перепишем определитель с учётом записанных формул: =, после чего очевиден ответ: =1.

Ответ: =1.

Пример 3–8: Решить уравнение: =.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: ==.

2). Вынося общий множитель второго столбца за знак определителя, получим: ==·.

3). Из условия: =0 получаем корни уравнения =–1, =–4.

Ответ: корни уравнения =–1, =–4.

Замечание: формальное применение правила вычисления определителей 2-го порядка не вызывает никаких затруднений!

Определители 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка называют число, представленное в виде специальной записи:

==++–––. (2)

Говорят, что правая часть выражения (2) определяет правило вычисления определителя 3-го порядка. Соответствие, представленное выражением (2), легко запоминается, если использовать геометрическую схему составления членов определителя:

Замечание: нетрудно заметить, что правило (1) вычисления определителя 2-го порядка запомнить значительно проще, чем правило (2) для определителей 3-го порядка!

Оказывается, есть правило сведения вычисления определителя 3-го порядка к вычислению нескольких определителей 2-го порядка, а именно:

== –+, (3)

или == –+, (4)

Обоснование правил (3) и (4) вычисления определителя 3-го порядка мы получим в теории определителей - го порядка.

Замечание: правило (3) называют: вычисление определителя разложением по первой строке, а правило (4): разложение по первому столбцу.

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример 4–12: Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения: =,

или: ==0.

Ответ: d = 0.

Пример 5–15: Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

1). Воспользуемся формулой (3) вычисления:

=–+, или

=–+.

2). Применяя тождественные преобразования, получаем величину: =.

Ответ: d = .

Пример 6–17: Вычислить определитель 3-го порядка: =, учитывая, что =.

Решение:

1). Воспользуемся формулой (3) вычисления: = –+, или

=–+=.

2). Запишем: = и =. Тогда =–3 (учтено: =–1).

Ответ: d = –3.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое определитель 2-го порядка, как его вычисляют?

2. Что такое определитель 3-го порядка, как его вычисляют?

Задачи для самоподготовки:

Пример C2–1: Вычислить определитель: =.

Ответ: d =1.

Пример C2–2: Решить уравнение: =.

Ответ: решение: =, .

Пример C2–3: Вычислить определитель: =.

Ответ: d =1.

Пример C2–4: Вычислить определитель: =.

Ответ: d =.

Пример C2–5: Вычислить определитель: =, =.

Ответ: d =.

< * * * * * >

ЗАНЯТИЕ 3. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение векторов: определение и свойства (физический смысл). Векторное произведение векторов, заданных своими проекциями. Смешанное произведение векторов.

☺ ☻ ☺

Пусть векторы ,, образуют правую тройку. Векторное произведение для векторов , записывают в виде: =x==∙ –∙j +∙k =, причём ==∙, где – угол между векторами , (известно: , то есть ≥0).

Для векторов ,, определено векторно-скалярное, то есть смешанное, произведение: (x)∙ или ∙(x). В координатной форме вычисление определяется выражением:

(x)∙=–+===.

Известно, что векторное произведение обладает свойствами: 1) =, 2) , 3) =+.

Используют также выражение: |(x)∙|=||∙||∙||∙∙=|V| – объём параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Из последнего следует условие компланарности этих векторов: (x)∙=0.

••• ≡ •••

Пример 1–98: Векторы и образуют угол . Зная, что , , вычислить: 1) , 2) , 3) .

Замечание: применение вместо записи векторов в виде: и предпочтительнее, чем использование записей векторов с индексами (учитывая почерк большинства!).

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

1). Вычислим: =∙==.

2). Преобразуем выражение: ==3=3.

3). Как в пункте 2): ==10=10.

Ответ: 1) , 2) 3, 3) 10.

Пример 2–106: Даны векторы = (3,–1,2), = (1,2,–1). Найти координаты векторных произведений: 1) , 2) , 3) .

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

1).Воспользуемся формулой: , где:

, , → .

2). С учетом результата п. 1: .

3). С учетом п. 1: .

Замечание: преобразования в п. 1), 2), 3) учитывают свойства векторного произведения.

Ответ: 1): (–3,5,7); 2): (–6,10,14); 3): (–12,20,28).

Пример 3–115: Сила =(2,–4,5) приложена к точке =(4,–2,3). Определить момент этой силы относительно точки =(3,2,–1).

Решение:

Общие формулы: в физике моментом силы относительно неподвижной точки называют вектор, вычисляемый по формуле: =x=, где – радиус-вектор из точки в точку приложения силы (на самом деле, вместо точки приложения силы , может быть использована любая точка, принадлежащая линии действия этой силы).

Применяя общую формулу, запишем решение поставленной задачи:

1). Вычислим радиус-вектор: ===(4,–2,3) –(3,2,–1)= (1,–4,4).

2). Вычислим вектор момента силы относительно неподвижной точки : ==, где: ==–4, =–=–3, ==4 → =(–4,3,4).

Ответ: моментом силы: =(–4,3,4).

Пример 4–127: Установить, образуют ли векторы: ,, базис в множестве векторов пространства : 1) = (2,3,–1), = (1,–1,3), = (1,9, –11),

2) = (3,–2,1), = (2,1,2), = (3,–1,–2).

Решение:

Общие формулы: известно, что векторы ,, образуют базис, то есть независимы, если они не принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям; для проверки этого условия используют определитель =: если 0, то векторы независимы, если =0, то зависимы.

Применяя названный критерий, решим каждую из поставленных задач:

1). Вычислим определитель: ==2–1+1=0. Следует: векторы не образуют базис.

2). Вычислим определитель: ==3–2+30. Следует: векторы образуют базис.

Ответ: для случаев: а) не образуют, б) образуют.

Пример 5–132: Вычислить объём тетраэдра , если =,=, =.

Решение:

Замечание: задачу можно было решать без рисунка (достоинство аналитической геометрии), но мы воспользуемся простым эскизом для побуждения зрительного образа решения задачи.

Алгоритм:

1) вспомним: объём пирамиды равен 1/3 объёма соответствующей призмы;

2) обозначим объём пирамиды – , а объём параллелепипеда, построенного на векторах =,=,=–; вычислим =– величина объёма со знаком;

3) учтём, что =6 и запишем результат =.

Реализуем принятый алгоритм:

1). Вычислим смешанное произведение векторов ,,:

===3+0 +0 =–51.

2). Вычислим объём пирамиды: ==.

Ответ: объём пирамиды: ==.