- •2. Линейные дифференциальные уравнения
- •2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений
- •2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью
- •2.7. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения геометрических задач
- •2.8. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач
- •2.9. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
2.9. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
Уравнением Эйлера называют линейное уравнение с переменнымикоэффициентами вида:, где- постоянные числа;– заданная функция.
Уравнение Эйлера, как однородное, так и неоднородное, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной =, если>0,, если<0.
Рассмотрим метод на примере уравнения Эйлера 2-го порядка.
Пример 2.14. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера:.
Решение.1) Применяя подстановку=, получим линейное уравнение
. (2.11)
Его характеристическое уравнение имеет корни==2. Составляем для (2.11) фундаментальную систему решений=,=и строим общее решение соответствующего однородного уравнения:.
2) Учитывая, что =, частное решение неоднородного уравнения (2.11) будем искать в виде=. Подставляя,,получим тождество, из которого легко вычислить. В таком случае,=.
3) Запишем общее решение уравнения (2.11) ==.
4) Выполняя обратную замену , получим решение исходного уравнения.
Ответ. Общее решение .
Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера.
а) однородные:
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение: |
2.9.1. |
. |
2.9.9. |
. |
2.9.2. |
. |
2.9.10. |
. |
2.9.3. |
. |
2.9.11. |
. |
2.9.4. |
. |
2.9.12. |
. |
2.9.5. |
. |
2.9.13. |
. |
2.9.6. |
. |
2.9.14. |
. |
2.9.7. |
. |
2.9.15. |
. |
2.9.8. |
. |
|
|
б) неоднородные:
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение |
2.9.16. |
. |
2.9.24. |
. |
2.9.17. |
. |
2.9.25. |
. |
2.9.18. |
. |
2.9.26. |
. |
2.9.19. |
. |
2.9.27. |
. |
2.9.20. |
. |
2.9.28. |
. |
2.9.21. |
. |
2.9.29. |
. |
2.9.22. |
. |
2.9.30. |
. |
2.9.23. |
. |
|
|