2.7. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения геометрических задач

Из курса математического анализа известно, что производная функцииприменяется для исследования геометрических свойств линий, а именно: выпуклость (вверх и вниз) и кривизна линии. Кривизна линии характеризует скорость вращения касательной к кривой при движении точки по кривой.

Пусть есть угол, на который поворачивается касательная при переходе из точкикривой линиив точку, а− длина части кривой между названными точками. Тогда величинавыражает среднюю кривизну дуги. Величина=называется кривизной кривой, а величинарадиусом кривизны кривойв точке.

Для окружности кривизна величина постоянная и равна , где– радиус окружности. Чем меньше радиус, тем больше кривизна. Последнюю формулу легко получить из того, что длиналюбой дуги окружности равна, где− радиус окружности,– центральный угол, опирающийся на дугу (центральный угол, опирающийся на дугу окружности равен углу между касательными, проведенными к дуге окружности в её концах).

На рис.2.1 показана окружность радиусадля точкикривой. Учитывая смысл предельного перехода, заметим, что кривуюв окрестности точкиможно заменить соприкасающейся окружностью радиуса. Центр этой окружности располагается на нормали кривой в данной точке, причём в той же полуплоскости относительно касательной, что и рассматриваемая кривая.

В математическом анализе для вычисления кривизны линии в каждой её точке получена формула =. Это значит, что радиус кривизны=.

Известно, что для линий, выпуклых вниз, производная >0. Для таких линийи, что согласуется с чертежом. Соответственно, для линий, выпуклых вверх −и. Учитывая замеченное свойство кривых линий, удобно определить проекцию радиуса кривизны на осьформулой=, что отражает направление радиуса кривизны вдоль нормали кривой для рассматриваемой точки.

Пример 2.12.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьравна 1.

Решение. 1) Учитывая условие задачи: =1, запишем дифференциальное уравнение, соответствующее требуемым геометрическим свойствам линии или.

2) Дифференциальное уравнение решаем способом понижения порядка, принимая=. Тогда. Перепишем уравнение, или. Интегрируя это уравнение, получаем, или.

3) Так как =, из выраженияследует. Учитывая, что=, получим уравнение. При вычислении интеграла левой части применяем способ замены переменных. В результате получим.

Замечание. Выражение общего решения можно преобразовать к виду более удобному для применения в задачах Коши .

Ответ. , или .

Задание 2.7. Найти уравнения кривых.

Замечания. 1) При раскрытии модулей можно ограничиться случаем положительности выражений, стоящих под знаком модуля.

2) Для решения получаемых в заданиях уравнений 2-го порядка нужно будет использовать методы понижения порядка уравнения. Далее потребуется применение способов решения уравнения , не разрешённого относительно производной. В записи решения этого уравнения могут содержаться неопределенные интегралы, если их вычисление является сложным.

2.7.1.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьдля всех её точек сохраняет постоянное значение, равное –1.

2.7.2.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке равен длине нормали.

2.7.3.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке равен длине касательной.

2.7.4.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьдля всех её точек сохраняет постоянное значение, равное 2.

2.7.5.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке определяется зависимостью:=[длина нормали], если.

2.7.6.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке определяется зависимостью:=[длина касательной], если.

2.7.7.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьдля всех её точек сохраняет постоянное значение, равное –2.

2.7.8.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке определяется зависимостью:=[длина нормали], если.

2.7.9.Найти уравнение линии, для которой радиус кривизны в любой её точке определяется зависимостью:=[длина касательной], если.

2.7.10.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьдля всех её точек сохраняет постоянное значение, равное 3.