2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде, где– общее решение неоднородного уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения,– частное решение неоднородного уравнения. Если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.

В данном пункте рассмотрим метод для уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида, где– действительные числа.

Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:

1) Находим корни характеристического уравнения.

2) Если ни один из корней не совпадает с(нерезонансный случай), то частное решение ищем в виде, гдеи– неопределённые коэффициенты, подлежащие вычислению;

3) Так как функция должна быть решением заданного неоднородного уравнения, то вычислив,и подставив функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения коэффициентови.

4) Если (случай резонанса):

4.1) , то частное решение ищем в виде.

4.2) , то решение частное решение ищем в виде.

Если , где каждая из функцийимеет указанный выше вид, то частное решение находят как сумму соответствующих частных решений.

Пример 2.4.Решить уравнение:, применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Характеристические корни уравнения:=1. Общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному уравнению:==.

2) Так как =, частное решениеищем в виде, где– неопределённый коэффициент.

3) Находим производные: =,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество. Упрощая, получим равенство, из которого находим значение=.

4) Записываем общее решение неоднородного уравнения =+.

Ответ.Общеерешение: =+.

Пример 2.5.Решить уравнение:, применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Корни характеристического уравнения. Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения==, гдеи– функции фундаментальной системы решений, аи– произвольные постоянные.

2) Так как , необходимо найти частные решения:

а) для правой части =, при условии, чтоищем=;

б) для правой части =, при условии, чтоищем=.

3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью, получаем тождество, из которого находим значение=1.

4) Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим=,=.

5) Учитывая , запишем=+.

Ответ.Общеерешение:=+.

Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.4.1.	.	2.4.16.	.
2.4.2.	.	2.4.17.	.
2.4.3.	.	2.4.18.	.
2.4.4.	.	2.4.19.	.
2.4.5.	.	2.4.20.	.
2.4.6.	.	2.4.21.	.
2.4.7.	.	2.4.22.	.
2.4.8.	.	2.4.23.	.
2.4.9.	.	2.4.24.	.
2.4.10.	.	2.4.25.	.
2.4.11.	.	2.4.26.	.
2.4.12.	.	2.4.27.	.
2.4.13.	.	2.4.28.	.
2.4.14.	.	2.4.29.	.
2.4.15.	.	2.4.30.	.