- •2. Линейные дифференциальные уравнения
- •2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений
- •2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью
- •2.7. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения геометрических задач
- •2.8. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач
- •2.9. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
Для решения однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n-го порядка применяют описанный в п.2.1. алгоритм решения уравнений 2-го порядка, то есть записывают характеристическое уравнениеи находят его корни. Необходимо лишь учесть, что:
каждому действительному корню кратностихарактеристического уравнения соответствуетрешений в ФСР:и, …,;
каждой паре комплексных корней кратностихарактеристического уравнения соответствуетрешений в ФСР:,,,,…,,.
Задание 2.2. Найти общие решения уравнений.
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение |
2.2.1. |
. |
2.2.16. |
. |
2.2.2. |
. |
2.2.17. |
. |
2.2.3. |
. |
2.2.18. |
. |
2.2.4. |
. |
2.2.19. |
. |
2.2.5. |
. |
2.2.20. |
. |
2.2.6. |
. |
2.2.21. |
. |
2.2.7. |
. |
2.2.22. |
. |
2.2.8. |
. |
2.2.23. |
. |
2.2.9. |
. |
2.2.24. |
. |
2.2.10. |
. |
2.2.25. |
. |
2.2.11. |
. |
2.2.26. |
. |
2.2.12. |
. |
2.2.27. |
. |
2.2.13. |
. |
2.2.28. |
. |
2.2.14. |
. |
2.2.29. |
. |
2.2.15. |
. |
2.2.30. |
. |
2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.
1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение
. (2.1)
2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , гдеи– функции ФСР, аи– произвольные постоянные.
3) Заменим постоянные ина функциии, причём так, что функциябудет уже решением неоднородного уравнения.
4) Найдём производную для функции:=+и потребуем
=0, (2.2)
то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянныхи.
5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем=+.
6) Подставив ,ив исходное уравнение и учитывая, чтоиявляются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциями
=. (2.3)
7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:
(2.4)
8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и, которые затем интегрируем:
и. (2.5)
В выражении (2.5) величины и– произвольные постоянные.
9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и, записываем общее решение неоднородного уравнения:
. (2.6)
Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где– общее решение однородного уравнения (2.1), а функция=– частное решение неоднородного уравнения.
Пример 2.3.Решить задачу Коши,,, применив метод вариации произвольных постоянных.
Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение.
2) Характеристические корни уравнения: . ФСР:и. Составим общее решение однородного уравнения:=.
3) Составим систему: В нашем случае:Из этой системы получаеми.
4) Вычислим: =и==. Составим частное решение неоднородного уравнения
==.
5) Составим общее решение неоднородного уравнения .
6) Для заданных начальных условий получаем ,.
Ответ:Общее решение:,частное решение:.
Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.
Вар. |
Уравнение |
Начальные условия |
2.3.1 |
; |
=1,=. |
2.3.2. |
; |
. |
2.3.3. |
; |
=1,=. |
2.3.4. |
; |
. |
2.3.5. |
; |
=1,=. |
2.3.6. |
; |
. |
2.3.7. |
; |
=1,=. |
2.3.8. |
; |
. |
2.3.9. |
; |
=1,=. |
2.3.10. |
; |
. |
2.3.11. |
; |
=1,=. |
2.3.12. |
; |
. |
2.3.13. |
; |
=1,=. |
2.3.14. |
; |
. |
2.3.15. |
; |
=1,=. |
2.3.16. |
; |
. |
2.3.17. |
; |
=1,=. |
2.3.18. |
; |
. |
2.3.19. |
; |
=1,=. |
2.3.20. |
; |
. |
2.3.21. |
; |
=1,=. |
2.3.22. |
; |
. |
2.3.23. |
; |
=1,=. |
2.3.24. |
; |
. |
2.3.25. |
; |
=1,=. |
2.3.26. |
; |
. |
2.3.27. |
; |
=1,=. |
2.3.28. |
; |
. |
2.3.29. |
; |
=1,=. |
2.3.30. |
; |
. |