2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида:

1) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде =, если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом, построенном по виду правой части неоднородного уравнения (нерезонансный случай);

2) если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни и один из них совпадает с числом , то имеемрезонансный случайи частное решение ищем в виде=.

Значения «неопределённых коэффициентов» ивычисляем способом, изложенным в п.2.4 и ниже в примерах.

Пример 2.6.Решить уравнение:, применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни=,=. Общее решение однородного уравнения==.

2) Запишем правую часть исходного уравнения в виде. Ей соответствует число. Так как, то имеем резонансный случай и частное решениеищем в виде=.

3) Найдем производные =,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения=3,=1. Это значит, что=.

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ.Общеерешение=+.

Пример 2.7.Решить уравнение, применив «метод неопределённых коэффициентов».

Решение. 1) Характеристические корни уравнения=,=. Общее решение соответствующего однородного уравнения==.

2) Так как =, частное решениеищем в виде=, гдеиподлежат вычислению.

3) Найдем производные =,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения,. Это значит, что=

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ.Общеерешение: .

Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение:
2.5.1.	.	2.5.16.	.
2.5.2.	.	2.5.17.	.
2.5.3.	.	2.5.18.	.
2.5.4.	.	2.5.19.	.
2.5.5.	.	2.5.20.	.
2.5.6.	.	2.5.21.	.
2.5.7.	.	2.5.22.	.
2.5.8.	.	2.5.23.	.
2.5.9.	.	2.5.24.	.
2.5.10.	.	2.5.25.	.
2.5.11.	.	2.5.26.	.
2.5.12.	.	2.5.27.	.
2.5.13.	.	2.5.28.	.
2.5.14.	.	2.5.29.	.
2.5.15.	.	2.5.30.	.

2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью

Алгоритм нахождения частного решения неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка со специальной правой частью такой же, как и для неоднородных уравнений 2-го порядка. Отличие состоит лишь в том, что значение показателяв множителев резонансном случае может быть больше 1.

Пример 2.8.Записать вид частного решения для уравнения:.

Решение.1) Находим корни характеристического уравнения:=1, то есть число 1 является корнем кратности 3.

2) По виду правой части записываем число.

3) Так как =, частное решениеищем в виде, гдеи– неопределённые коэффициенты.

Ответ.Частное решение ищем в виде(резонансный случай).

Пример 2.9.Записать вид частного решения для уравнения.

Решение. 1) Характеристические корни.

2) По виду правой части записываем число.

3) Так как с числом совпадает лишь коренькратности 1, то частное решение ищем в виде(резонансный случай).

Ответ.Частное решение ищем в виде .

Пример 2.10.Записать вид частного решения для уравнения.

Решение: 1) Характеристические корни уравнения=,=,=2.

2) По виду правой части записываем число.

3) Так как =, частное решениеищем в виде=(резонансный случай).

Ответ.Частное решение ищем в виде =.

Пример 2.11.Записать вид частного решения для уравнения=.

Решение.1) Корни характеристического уравнения=2,==.

2) По виду правой части записываем число.

3) Так как комплексное число не совпадает ни с=2, ни с=, то частное решение уравнения следует искать в виде=(нерезонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде =.

Задание 2.6. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.6.1.	.	2.6.16.	.
2.6.2.	.	2.6.17.	.
2.6.3.	.	2.6.18.	.
2.6.4.	.	2.6.19.	.
2.6.5.	.	2.6.20.
2.6.6.	.	2.6.21.	.
2.6.7.	.	2.6.22.	.
2.6.8.	.	2.6.23.	.
2.6.9.	.	2.6.24.	.
2.6.10.	.	2.6.25.	.
2.6.11.	.	2.6.26.	.
2.6.12.	.	2.6.27.	.
2.6.13.	.	2.6.28.
2.6.14.	.	2.6.29.	.
2.6.15.	.	2.6.30.

Для линейного неоднородного уравнения найти общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения.

Вар.		Вар.
2.6.31.	.	2.6.46.	.
2.6.32.	.	2.6.47.	.
2.6.33.	.	2.6.48.	.
2.6.34.	.	2.6.49.	.
2.6.35.	.	2.6.50.	.
2.6.36.	.	2.6.51.	.
2.6.37.	.	2.6.52.	.
2.6.38.	.	2.6.53.	.
2.6.39.	.	2.6.54.	.
2.6.40.	.	2.6.55.	.
2.6.41.	.	2.6.56.	.
2.6.42.	.	2.6.57.	.
2.6.43.	.	2.6.58.	.
2.6.44.	.	2.6.59.	.
2.6.45.	.	2.6.60.	.