2.8. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач

Указание 1.В задачах 2.8.4 и далее при расчёте силы тяжести (или электростатической силы), действующей на тело внутри другого тела учитывать, что благодаря закону обратных квадратов ускорение свободного падения (напряжённость электростатического поля) в точке, находящейся внутри сферически симметричного тела на расстоянииот его центра, не зависит от массы (заряда), находящейся снаружи сферы радиуса.

Указание 2.В задачах, где рассматривается вращение с постоянной угловой скоростью, учесть, что для использования 2-го закона Ньютона во вращающейся с постоянной угловой скоростьюсистеме отсчёта к реальным силам, действующим на материальную точку, нужно добавить также центробежную силу(– расстояние от материальной точки до оси вращения), а также силу Кориолиса, где– скорость тела относительно вращающейся системы отсчёта.

Пример 2.13.В диэлектрическом шаре радиусом, заряженном равномерно по объёму с плотностью, просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длинойс закреплёнными на его концах зарядамиив изолированной оболочке (рис.2.2). Общая масса стержня с зарядами равна, в момент временисередина стержня находилась в центре шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени отклонениясередины стержня от центра. Постоянная закона Кулона, трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.1) На зарядыидействуют электростатические силыисоответственно со стороны распределённых по объёму зарядов в шаре (см.рис.2.2), взаимодействие зарядовимежду собой компенсируется упругими силами стержня, соединяющего их, и не влияет на движение стержня с зарядами. УравнениеIIзакона Ньютона для стержня будет иметь вид

, (2.7)

где – радиус-вектор середины стержня. Направим осьxиз центра шара в сторону заряда, тогдаи– координаты зарядови. В соответствии с законом обратных квадратов, напряжённость электрического поля, создаваемого зарядами шара, в точке нахождения зарядазависит только от заряда, находящегося внутри сферы, проходящей через(на рисунке показана штриховой линией). Таким образом, для проекции силына осьxполучим:

,

где – сумма зарядов шара, находящихся внутри сферы радиуса. Поскольку, то

. (2.8)

Аналогично, для проекции силы на осьxимеем:

. (2.9)

Подставляя (2.8) и (2.9) в проекцию уравнения (2.7) на ось xи учитывая соотношения

,,

получим дифференциальное уравнение

. (2.10)

2) Уравнение (2.10) линейное неоднородное с постоянными коэффициентами. Его общее решение

.

Из начальных условий найдём, что , поэтому искомая зависимость будет иметь вид

.

Ответ..

2.8.1. Один конец пружины жёсткостью закреплён неподвижно, а к другому прикреплён груз массой. При движении груз испытывает силу сопротивления внешней среды, пропорциональную скорости с коэффициентом пропорциональности. Пригрузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость. Найти зависимостьотклонения груза от положения равновесия от времени для случая.

Ответ..

2.8.2. Решить задачу 2.8.1 при и дополнительном условии, что на груз действует внешняя периодическая сила.

Ответ.

2.8.3. На конце упругого стержня укреплена масса . Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в моментравно. Упругая сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов с коэффициентом. Найти амплитудувынужденных колебаний массы. Может ли быть? Массой стержня и трением пренебречь.

Ответ.; может.

2.8.4. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, проходящий через центр астероида. В этот канал в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьотклонения тела от центра астероида. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа и вращением астероида пренебречь.

Ответ..

2.8.5. Решить задачу 2.8.4 с учётом силы сопротивления атмосферного газа, которое пропорционально скорости тела; коэффициент пропорциональности считать не зависящим от глубины и равным .

Ответ..

2.8.6. На некотором астероиде радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, минимальное расстояние от которого до центра астероида равно. В этот канал в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьотклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа и вращением астероида пренебречь.

Ответ..

2.8.7. Решить задачу 2.8.6 с учётом силы трения скольжения о стенки канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону наиболее глубокой точки канала.

Ответ..

2.8.8. На некотором астероиде радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, проходящий через центр астероида и перпендикулярный оси вращения астероида. В этот канал в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьотклонения тела от центра астероида, если угловая скорость вращения астероида равна. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала и сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ..

2.8.9. Решить задачу 2.8.8. с учётом силы трения скольжения о стенки канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону центра; считать, что.

Ответ., где,.

2.8.10. Решить задачу 2.8.9 в случае, когда .

Ответ..

2.8.11. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, перпендикулярный оси вращения астероида и проходящий через неё. Минимальное расстояние от канала до центра астероида равно. В этот канал в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьотклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида, если угловая скорость вращения астероида равна. Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону центра. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ..

2.8.12. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью, просверлено сквозное диаметральное отверстие. С одной стороны в это отверстие влетает со скоростьюпылинка массойи зарядомтого же знака, что и заряд шара. Найти зависимость от времени отклоненияпылинки от центра шара. Постоянная закона Кулона, трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ..

2.8.13. Решить задачу 2.8.12 с учётом силы сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом .

Ответ..

2.8.14. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью, просверлено сквозное диаметральное отверстие. В это отверстие попадает у поверхности шара с нулевой скоростью маленькая крупинка массойи отрицательным зарядом, покрытая сверху непроводящей оболочкой. Найти зависимость от времени отклонениякрупинки от центра шара. Постоянная закона Кулона, трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ..

2.8.15. Решить задачу 2.8.14 с учётом силы сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости крупинки с коэффициентом . Считать, что.

Ответ..

2.8.16. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, параллельный оси вращения астероида и отстоящий на расстоянииот неё. В этот канал в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьотклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида, если угловая скорость вращения астероида равна. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ..

2.8.17. Решить задачу 2.8.16 с учётом трения скольжения между телом и стенками канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону наиболее глубокой точки канала; считать, что.

Ответ..

2.8.18. На одном из астероидов радиусом пробурена прямолинейная скважина до его центра, составляющая с осью вращения астероида угол. В эту скважину в моментс поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероидапостоянной, найти зависимостьрасстояния тела до центра астероида, если угловая скорость вращения астероида равна. Гравитационная постоянная, трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ..

2.8.19. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью, просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длинойс закреплёнными на его концах зарядамиив изолированной оболочке. Общая масса стержня с зарядами равна, в момент временивторой заряд находился в центре шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени расстояниясередины стержня от центра шара до выхода первого заряда из отверстия в шаре. Постоянная закона Кулона, трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ..

2.8.20. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью, просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длинойс закреплёнными на его концах зарядамив изолированной оболочке. Общая масса стержня с зарядами равна, в момент временисередина стержня находилась на расстоянииот центра шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени расстояниясередины стержня от центра шара до выхода первого заряда из отверстия в шаре. Постоянная закона Кулона, трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ..

21. Стержень длиной вращается вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, с угловой скоростью. По стержню скользит без трения узкое кольцо. Найти закон изменениярасстояния от кольца до оси вращения, если в начальный момент оно было равно, а скорость кольца относительно стержня была равна нулю. Найти скоростьотносительно земли, которую будет иметь кольцо в момент соскальзывания со стержня.

Ответ..