- •Элементы математической логики.
- •Множества.
- •Множество действительных чисел.
- •Числовая последовательность.
- •Число .
- •2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел).
- •Функции.
- •Непрерывность функции.
- •Равномерная непрерывность функции
- •Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)
Равномерная непрерывность функции
Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и если , т.е.
Определение. Функция равномерно непрерывна на множестве , если она определена в точках этого множества, и если .
Пример. Функция не является равномерно непрерывной на полуинтервале , так как для любого невозможно найти общее для всех точек полуинтервала , при приближении к точке величина стремится к нулю.
Теорема. (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Методом от противного. . Так как - любое, берем последовательно и находим последовательности и принадлежащие отрезку и удовлетворяющие условиям . Так как она ограничена и по теореме Больцано-Вейерштрасса . Тогда и . Действительно: . Мы имеем . Учитывая непрерывность функции на отрезке , переходим к пределу при и получаем , т.е. . Но по условию - противоречие. Теорема доказана.
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)
1.Множество действительных чисел.
2.Теорема о точной грани ограниченного множества (док).
3.Понятие числовой последовательности. Ее предел.
4.Единственность предела (док).
5. Ограниченность сходящейся последовательности (док).
6.Арифметические операции над сходящимися последовательностями (док).
7.Точная верхняя грань последовательности. Теорема о пределе ограниченной сверху неубывающей последовательности.
8.Число е (док).
9.Теорема Больцано-Вейерштрасса (док).
10.Критерий Коши существования конечного предела последовательности.
11.Понятие функции действительного переменного. Предел функции.
12.Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.
13. Критерий Коши существования предела функции.
14.Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (док).
15.Теорема о сохранении знака функции, имеющей конечный предел (док).
16.Теорема о зажатой функции (док).
17.Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции.
18.Классификация точек разрыва. Примеры.
19.Замечательные пределы.
20.Сравнение бесконечно малых.
21.Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.
22.Теорема Вейерштрасса.
23.Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции (док).
24. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.