Непрерывность функции.

Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если , т.е. .

Из определения следует, что для непрерывной функции справедливо равенство:

, то есть предел можно вносить в аргумент непрерывной функции.

Определение*. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при , т.е. .

Пример. Функция непрерывна для любого .

Действительно .

Пример. Функция непрерывна для любого .

. Здесь мы использовали неравенство . Таким образом, имеем , т.е. функция зажата между двумя функциями, стремящимися к нулю. Значит, и стремится к нулю.

Теорема. Если и непрерывны в точке , то непрерывны их сумма, разность, произведение и частное.

Доказательство. Доказательство вытекает из определения непрерывности и теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного.

Теорема. (О непрерывности сложной функции). Пусть задана функция , непрерывная в точке , и функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. .

Пример. Многочлен - непрерывная функция, т.к. является результатом конечного числа арифметических операций над непрерывной функцией

Пример. - сложная функция.

Пример. - непрерывная функция.

Действительно: ; .

Пример. Если непрерывна, то непрерывна и сложная функция .

Замечательные пределы.

- первый замечательный предел.

Используя тригонометрический круг, определение синуса и тангенса, а также неравенство , можно при записать выражение . Разделим его на и получим . По теореме о зажатой функции имеем .

- второй замечательный предел.

Для натуральной переменной следует из определения числа . Можно показать, что переменной может быть не только натуральное число, но и действительное число, стремящееся к . Кроме того, если сделать замену переменной , то получим эквивалентную запись этого предела .

Классификация точек разрывов.

Разрывы бывают устранимые и неустранимые. Отличают неустранимые разрывы первого и второго рода.

Функция в точке имеет устранимый разрыв, если предел слева равен пределу справа и не равен значению функции в точке . Такой разрыв можно устранить, изменив значение функции в одной точке. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв первого рода, если конечный предел слева не равен конечному пределу справа. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов не существует или равен . Примеры: ; .

Сравнение бесконечно малых.

Определение. Если , то говорят, что бесконечно малая при .

Определение. Если и - бесконечно малая при и , то говорят, что - о- малое от при , т.е. при .

Определение. Если , где - конечное число, то говорят, что и величины одного порядка малости при .

Определение. Если , эквивалентна при , т.е. при .

Примеры эквивалентных бесконечно малых при : ; ; ; ; ; .

Определение. Если , то говорят, что бесконечно большая величина при .

Функции, непрерывные на отрезке.

Определение. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , а и .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена, т.е. .

Доказательство. Допустим, что функция не ограничена на отрезке . Тогда . Берем последовательно , получим: . Заметим, что . Последовательность ограничена, т.к. . По теореме Больцано-Вейерштрасса из можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , т.е. , где . В силу непрерывности имеем: , где является конечным числом. Но мы уже получили, что , а значит, . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема. (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то существует ее минимум и максимум на , т.е. существуют точки .

Доказательство. Докажем для максимума. По предыдущей теореме непрерывная на отрезке функция ограничена сверху некоторым числом , но тогда существует точная верхняя грань , т.е. . Полагая последовательно , получаем последовательность , такую, что . Так как последовательность ограничена, то существует подпоследовательность сходящаяся к . В силу непрерывности нашей функции . Если предел существует, то он единственный, т.е. .

Таким образом, точная верхняя грань достигается функцией в точке , т.е. в точке функция принимает свое максимальное значение. Теорема доказана.

Теорема. (О нулях непрерывной на отрезке функции). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на интервале имеется, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Доказательство. Обозначим отрезок через . Разделим его пополам. Если в середине функция равна нулю, то теорема доказана. Если этого нет, то одна из половинок такая, что на концах функция имеет значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через . Продолжим эту процедуру. Мы либо наткнемся на точку , такую, что , либо получим систему вложенных стремящихся к нулю отрезков. Система таких отрезков по аксиоме непрерывности имеет общую точку . Покажем, что .

Пусть, например, . Но тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции . С другой стороны, для мы можем указать вложенный отрезок , где принимает разные знаки на концах отрезка. Противоречие.

Предположение тоже приводит к противоречию. Тогда по аксиоме порядка . Теорема доказана.