Числовая последовательность.

Определение. Числовая последовательность – бесконечное множество пронумерованных чисел. Каждый элемент последовательности характеризуется номером и своим значением.

Примеры последовательностей: ; ; ; ; .

Определение*. Числовая последовательность – функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Определение. Последовательность неубывающая, если

Определение. Последовательность ограничена сверху, если

Определение. Последовательность не ограничена сверху, если (отрицание к предыдущему определению)

Определение. Число называется пределом последовательности , если

Это записывается

Рассмотрим неравенство

- окрестность точки размера (интервал с центром в точке и длиной ).

Определение*. , если

Теорема. Если имеет предел, то он единственный.

Доказательство. Пусть имеет два предела и . Возьмем

Мы получили, что начиная с номера , который больше и , все члены последовательности лежат в окрестности тоски и в окрестности точки . Противоречие, т.к. окрестности точек и не пересекаются. Теорема доказана.

Теорема. Если имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть . Возьмем найдем Из последнего неравенства следует

Пусть наибольшее среди чисел … , Тогда превосходит модуль всех членов нашей последовательности, т.е. последовательность ограничена. Теорема доказана.

Определение. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся последовательностью или фундаментальной последовательностью.

Теорема. Если , , то

;

;

Доказательство. Докажем выражение для произведения. Так как имеет конечный предел, то она ограничена некоторым числом , т.е. . Пусть при этом

Для того чтобы доказать , надо показать, что для любого найдется номер , такой, что для всех выполняется неравенство

.

Таким образом, начиная с любого номера , который больше и выполняется неравенство . Теорема доказана.

Пример. Показать, что , где - геометрическая прогрессия при .

Заметим, что . Так как , используя теорему о пределах суммы, произведения и частного, получаем требуемый результат.

Пример. Показать, что .

Если верное утверждение для числа , тогда принцип математической индукции заключается в следующем: .

По индукции доказываем, что . Делим числитель и знаменатель последовательности на и получаем нужный результат.

Определение. Число называется точной верхней гранью последовательности , если .

Теорема. Всякая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел, причем .

Доказательство. Так как последовательность ограничена сверху она имеет точную верхнюю грань , значит . В силу неубывания последовательности имеем: ; ; ; . Таким образом, , т.е. Теорема доказана.

Число .

Покажем, что последовательность имеет предел. Для этого надо показать, что она возрастающая и, что она ограничена сверху. Для преобразования ﾤ -го члена последовательности воспользуемся Биномом Ньютона:

При увеличении число слагаемых увеличивается, и каждое слагаемое увеличивается, значит, наша последовательность возрастающая. Далее имеем

, т.е. наша последовательность ограничена сверху. В последнем выражении мы использовали неравенство , которое можно доказать методом математической индукции, а также формулу суммы геометрической прогрессии. Таким образом, наша последовательность имеет предел, который назвали числом .

Пусть задана последовательность . Выберем из нее бесконечное число элементов с номерами . Получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема. (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как ограничена, то она принадлежит отрезку . Разделим его на две равные части. По крайней мере, один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его через . Выберем какой-то элемент . Разделим на две равные части, снова хотя бы один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его . Выберем какой-то элемент . Продолжим этот процесс. Получим систему вложенных отрезков и подпоследовательность . Система вложенных отрезков стремится к нулю, следовательно, имеет общую точку , к которой и сходится полученная подпоследовательность. Действительно . Теорема доказана.

Теорема. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась (имела конечный предел) необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла условию Коши: .

Доказательство. 1. (Необходимость). Пусть , тогда фундаментальна (удовлетворяет условию Коши).

Имеем Пусть , тогда .