Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму (МП-16,17,18,19)

Элементы математической логики.

Основное понятие – высказывание. Высказывание – предложение, сформулированное средствами некоторого языка, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

1) девять делится на три без остатка;

2) 5>4;

3) 8 – простое число;

4) ;

5) Да здравствует математика!

Высказываниями являются три первых предложения. Пятое предложение не является высказыванием. Четвертое предложение – предикат. Предикат – предложение, содержащее переменную величину, переходящее в высказывание при конкретном значении этой величины. Например, припишем слева к «квантор» всеобщности («для любого», «для каждого», «для всех» ) или квантор существования ( «найдется», «существует» ).

- ложь.

- истина.

Знак истинности у ложного высказывания «0», знак истинности у истинного высказывания «1».

Над высказываниями можно проводить логические операции, результатом которых является новое высказывание. Результаты операций представлены в таблице истинности:

A	B	А «и» В	А «или» В	«Не» А	Из А «следует» В	А «тождественно» В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 0 0 1

Два высказывания, имеющие одинаковые переменные, называются тождественными, если их таблицы истинности совпадают.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Множества.

Множество – совокупность некоторых объектов определенной природы. Объекты, образующие множество, называются его элементами.

- элемент принадлежит множеству .

- элемент не принадлежит множеству .

Задать множество можно перечислением его элементов ; с помощью некоторой процедуры ; при помощи описания свойств элементов, входящих во множество, .

- множество является подмножеством , т. е. каждый элемент множества является элементом множества .

- пустое множество. Множество, состоящее из элементов, содержит с учетом пустого подмножества подмножеств.

- равные множества.

- множество, элементы которого являются элементами множества или множества или элементами обоих множеств (объединение множеств).

- множество, элементы которого являются элементами множества и одновременно элементами множества (пересечение множеств).

- множество, элементы которого являются элементами множества , не принадлежащие множеству (разность множеств).

Множества и называются эквивалентными, если между элементами множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов.

В случае бесконечного множества эквивалентными могут быть все множество и его подмножество. Например, с помощью процедуры мы можем установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством четных натуральных чисел, т. е. установить их эквивалентность.

Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. Можно показать, что счетным множеством является множество рациональных чисел. Множество иррациональных чисел не является счетным.