УП_Г.Я.Горбовцов 2009
.pdfУправление стоимостью проекта
Математическая модель для решения задачи минимизации затрат
Обозначения:
A – множество работ проекта,
Pi – множество предшественников для работы i, yi – величина сокращения времени работы i, T0 – желательное время выполнения проекта,
ai – удельные затраты на сокращение работы i (наклон), din – нормальное время выполнения работы i,
dic – критическое время выполнения работы i.
При данных обозначениях модель линейного программирования принимает сле- дующий вид:
F(Y) = общие затраты = прямые затраты при нормальной длительности + |
(1) |
|
+ прирост прямых затрат + косвенные затраты → min |
||
|
ESi - ES x + yx |
≥ dxn x Pi |
(2) |
yi ≤ din - dic |
|
(3) |
ES Fin = T 0 |
|
(4) |
ESi ≥ 0 , yi ≥ 0 , |
i A |
(5) |
Теперь, для нашего примера, получим:
F(Y ) = 580 + (100 yA +100 yB +40 yC +140 yD +50 yE +30 yF) + 145 ES FIN → min
ESC − ES A + yA ≥ 8 |
yA ≤ 2 |
|
ES D − ES A + yA ≥ 8 |
|
|
ES E − ES B + yB ≥ 4 |
yB ≤ 2 |
|
ES F − ESC + yC ≥ 2 |
yC ≤ 1 |
|
ES F − ES E + yE ≥ 5 |
yE ≤ 4 |
|
ES Fin − ES D + yD ≥ 10 |
yD ≤ 5 |
|
ES Fin − ES F + yF |
≥ 3 |
yF ≤ 2 |
ES Fin = T0 |
|
|
ESi ≥ 0 , yi ≥ 0 , |
i A |
|
1. Для определения длительности проекта, при нормальной длительности всех операций, решим сначала следующую задачу:
81
Управление проектом
Параметры поиска решения: (нажмите кнопку Параметры)
В результате получим:
По значению ES FIN = 18 устанавливаем, что длительность проекта при нормаль-
ных длительностях всех операций составляет 18 дней. Теперь будем решать общую зада- чу при различных значениях T0 ={18,17,16 ...}пока не будет получено сообщение «Поиск не
может найти подходящего решения».
2. Общая задача:
82
Управление стоимостью проекта
Например, при T0 ={18}получим:
Пошаговые решения:
|
T0 |
YA |
YB |
YC |
YD |
YE |
YF |
F |
|
Шаг 1 |
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3190 |
|
Шаг 2 |
17 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3145 |
Сокращается А |
Шаг 3 |
16 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3100 |
Сокращается А |
Шаг 4 |
15 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3095 |
Сокращается D |
Шаг 5 |
14 |
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
3090 |
Сокращается D |
Шаг 6 |
13 |
2 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
3085 |
Сокращается D |
Шаг 7 |
12 |
2 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
3080 |
Сокращается D |
Шаг 8 |
11 |
2 |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
3105 |
Сокращаются D и F |
При T0 ={10}получаем сообщение Поиска решений:
Следовательно, наша задача имеет решение в диапазоне от 18 до 11 дней. При T0 ={12}получаем оптимальный календарный план с общими затратами = 3080.
3. Минимизация общих затрат
Изменим знак ограничения на T0 , т.е. сделаем ES Fin ≤ 18:
83
Управление проектом
Заново решим нашу общую задачу:
Теперь сразу получаем оптимальное решение.
84
Управление рисками проекта
Тема 6.
Управление рисками проекта
В предыдущих разделах не учитывались вероятностные соображения, а предпола- галось, что продолжительность работы точно известна. На практике сроки выполнения операций обычно являются довольно неопределенными. Часто можно лишь выдвинуть некоторые предположения о том, сколько времени потребуется для выполнения каждой работы. Нельзя предусмотреть возможные трудности или задержки выполнения. Неоп- ределенность сроков выполнения операций означает, что общая продолжительность проекта также подвержена неопределенности. Выбор метода, позволяющего учесть эту неопределенность, зависит от типа проекта и природы неопределенности.
6.1. Метод PERT
Алгоритм, получивший наиболее широкое применение, называется методом оценки и пересмотра проектов (Project Evaluation and Review Technique – PERT).
Для каждой работы проекта принимаются три оценки продолжительности вы- полнения:
1)наиболее вероятное время выполнения m,
2)оптимистическая оценка времени а,
3)пессимистическая оценка времени в.
Наиболее вероятная (нормальная) оценка, характеризует усредненные условия выполнения операции и определяется как время выполнения работы при нормальных условиях.
Оптимистическая (минимальная) оценка, соответствует наиболее благоприятным условиям выполнения операции, когда все идет по плану.
Пессимистическая (максимальная) оценка, соответствует самым неблагоприят- ным условиям выполнения операции (нехватка рабочей силы, перебои в снабжении, ме- ханические поломки).
Оптимистическая и пессимистическая оценки задают размах колебаний продол- жительности работы под влиянием неопределенности. Поскольку обе эти оценки явля- ются лишь приемлемыми предположениями, фактическая продолжительность работы может лежать за пределами этого интервала, но вероятность такого события очень мала. В методе PERT принимается бета-распределение продолжительности работ с модой в точке m и концами в точках a и b.
|
|
|
Pert(3, 4.5, 9) |
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
@RISK Trial Version |
|
|
|
||
0.15 |
|
|
For Evaluation Purposes Only |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Рис. 6.1. |
Функция плотности β-распределения |
|
|
85
Управление проектом |
|
|
|
|
Математическое ожидание работы приближенно определяется как |
|
|||
μ = |
a + b + 4m |
. |
(1) |
|
6 |
||||
|
|
|
Этот расчет основан на статистической концепции β-распределения, согласно ко- торой наиболее вероятная оценка продолжительности операции m весит в 4 раза больше, чем оптимистическая a и пессимистическая b оценки продолжительности.
Поскольку фактическая продолжительность может отличаться от ожидаемой, не- обходимо знать дисперсию продолжительности работы. У большинства распределений крайние значения отстоят на три среднеквадратических отклонения от математического ожидания. Таким образом, размах распределения равен шести среднеквадратическим
отклонениям, т.е. |
σ = |
b −a |
. |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия продолжительности работы равна σ |
2 |
b −a |
2 |
(2) |
|||||
|
= |
6 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вметоде PERT с помощью оценок продолжительности a, b, m по формулам (1) и
(2)вычисляется математическое ожидание и дисперсия для каждой работы. Так как про-
должительности работ являются случайными величинами, то и продолжительность про-
екта также является случайной величиной, и можно говорить о математическом ожидании продолжительности проекта и ее дисперсии.
В предположении, что сроки выполнения операций не зависят друг от друга, рас- пределение времени выполнения проекта в целом является нормальным (в силу цен-
тральной предельной теоремы), математическое ожиданиие (МО) нормального распре-
деления определяется как сумма математических ожиданий продолжительности крити- ческих операций, а дисперсия – как сумма их дисперсий.
Полученное нормальное распределение можно использовать для оценки вероят- ности завершения проекта к заранее установленной дате.
Пример 6.1. Рассмотрим проект, состоящий из девяти работ с отношениями предшествования и оценками продолжительности, показанными в табл. 6.1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Работа |
Предшествующие |
|
Оценка продолжительности |
|
||
|
работы |
оптимистическая наиболее вероятная пессимистическая |
||||
|
|
а |
|
m |
|
в |
A |
– |
2 |
|
5 |
|
8 |
B |
A |
6 |
|
9 |
|
12 |
C |
A |
6 |
|
7 |
|
8 |
D |
B, C |
1 |
|
4 |
|
7 |
E |
A |
8 |
|
8 |
|
8 |
F |
D, E |
5 |
|
14 |
|
17 |
G |
C |
3 |
|
12 |
|
21 |
H |
F, G |
3 |
|
6 |
|
9 |
I |
H |
5 |
|
8 |
|
11 |
Вначале вычислим среднюю продолжительность и дисперсию для каждой работы. Полученные данные приведены в табл. 6.2.
86
Управление рисками проекта
Таблица 6.2
|
Ожидаемая |
Среднеквадратическое |
Дисперсия, |
Работа |
продолжительность, |
отклонение, |
|
|
μ |
σ |
σ2 |
A |
5 |
1 |
1 |
B |
9 |
1 |
1 |
C |
7 |
1/3 |
1/9 |
D |
4 |
1 |
1 |
E |
8 |
0 |
0 |
F |
13 |
2 |
4 |
G |
12 |
3 |
9 |
H |
6 |
1 |
1 |
I |
8 |
1 |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
13 |
|
|
|
. |
нач |
A 5 |
B |
9 |
D 4 |
H 6 |
I 8 |
оконч. |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
7 |
G |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Рис. 6.2. Сетевая модель проекта
С помощью ожидаемых продолжительностей работ выполняется расчет сети.
Activity |
On Critical |
Activity |
Earliest |
Earliest |
Latest |
Latest |
|
|
|
Name |
Path |
Mean |
Start |
Finish |
Start |
Finish |
TF |
σ |
σ^2 |
|
|
Time |
|
|
|
|
|
|
|
A |
yes |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
1 |
1 |
B |
yes |
9 |
5 |
14 |
5 |
14 |
0 |
1 |
1 |
C |
no |
7 |
5 |
12 |
7 |
14 |
2 |
1/3 |
1/9 |
D |
yes |
4 |
14 |
18 |
14 |
18 |
0 |
1 |
1 |
E |
no |
8 |
5 |
13 |
10 |
18 |
5 |
0 |
0 |
F |
yes |
13 |
18 |
31 |
18 |
31 |
0 |
2 |
4 |
G |
no |
12 |
12 |
24 |
19 |
31 |
7 |
3 |
9 |
H |
yes |
6 |
31 |
37 |
31 |
37 |
0 |
1 |
1 |
I |
yes |
8 |
37 |
45 |
37 |
45 |
0 |
1 |
1 |
|
Completion |
Time = 45 days |
|
|
|
|
|
|
Критический путь определяется как (A, B, D, F, H, I). Обозначим через Т продол- жительность проекта. Тогда ожидаемая продолжительность проекта равна сумме ожи- даемых продолжительностей критических работ A, B, D, F, H, I:
E(T) = 5 + 9 + 4 + 13 + 6 + 8 = 45 (дней).
87
Управление проектом
Дисперсия продолжительности проекта равна сумме дисперсий продолжительно- сти критических работ A, B, D, F, H, I:
D(T) = 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 = 9.
Среднеквадратическое отклонение продолжительности проекта равно σ(T) = 3 .
Вероятность завершения проекта
Внашем примере продолжительность проекта Т имеет нормальное распределение
сЕ(Т) = 45 и σ(T) = 3. В случае нормального распределения вероятность того, что значение случайной величины отличается от м.о. не более чем на одно среднеквадратическое от- клонение, равна 0,68. Следовательно, с вероятностью 0,68 продолжительность проекта со- ставит от 42 до 48 дней. Аналогично с вероятностью 0,997 продолжительность проекта Т
будет отличаться от среднего значения не более чем на три σ (от 36 до 54 дней).
Можно также вычислить вероятность завершения проекта к определенному сроку. Например, руководителю нужно знать вероятность осуществления проекта за 50 дней, т.е. требуется вычислить Р (Т ≤ 50). Эту вероятность можно найти с помощью таблицы для нормированного нормального распределения с нулевым м.о. и σ = 1. Согласно тео-
рии вероятностей случайная величина Z = T −E(T) имеет нормальное распределение с
σ(T)
нулевым м.о. и σ = 1. Следовательно, |
50 − |
45 |
|
|
Р (Т ≤ 50) = P ( Z ≤ |
) = P (Z ≤ 1,67) = 0,9522. |
|||
3 |
|
|||
|
|
|
Таким образом, вероятность того, что проект будет закончен за 50 дней, составляет 0,9522. Допустим, что необходимо знать вероятность завершения проекта на 4 дня рань- ше, чем ожидается. Это означает, что требуется вычислить
Р (Т ≤ 41) = P ( Z ≤ |
41− |
45 |
) = P (Z ≤ –1,33) = 0,0912. |
3 |
|
||
|
|
|
Следовательно, вероятность того, что проект будет закончен через 41 день, состав- ляет всего 0,0912.
Пример 6.2
|
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
|
|
|
|
|
|
Операция |
Предшествующие |
|
Оценка продолжительности |
||
|
операции |
|
|
|
|
|
|
оптимистическая, |
наиболее вероятная, |
пессимистическая, |
|
|
|
а |
|
m |
в |
A |
– |
10 |
|
22 |
28 |
B |
A |
4 |
|
4 |
10 |
C |
A |
4 |
|
6 |
14 |
D |
B |
1 |
|
2 |
3 |
E |
C, D |
1 |
|
5 |
9 |
F |
C, D |
7 |
|
8 |
9 |
G |
E, F |
2 |
|
2 |
2 |
88
Управление рисками проекта
C |
|
|
|
F |
A |
|
|
|
G |
B |
|
|
D |
E |
|
|
|||
|
|
|
Рис. 6.3 |
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
|
|
|
|
|
Работа |
|
Ожидаемая продолжительность, |
Дисперсия, |
|
|
|
|
μ |
σ2 |
A |
|
21 |
9.00 |
|
B |
|
5 |
1.00 |
|
C |
|
7 |
2.78 |
|
D |
|
2 |
0.11 |
|
E |
|
5 |
1.78 |
|
F |
|
8 |
0.11 |
|
G |
|
2 |
0.00 |
Критические пути: {A→C→F→G} и {A→B→D→F→G}.
Поскольку в данном примере два критических пути, необходимо принять реше- ние, какие дисперсии следует использовать, чтобы максимально точно определить веро- ятность выполнения проекта в заданный срок. Традиционный подход заключается в ис- пользовании пути с наибольшей суммарной дисперсией, поскольку в этом случае внима- ние управленческого персонала будет направлено на операции, которые имеют большой разброс оценок продолжительности.
Так как в нашем примере для критического пути {A→C→F→G} ∑σ2ср = 11,89 , а для
критического пути {A→B→D→F→G} ∑σ2ср = 10,22 , то для определения вероятности за- вершения проекта должны быть использованы дисперсии операций A, C, F и H.
89
Управление проектом
Предположим, что менеджер хочет узнать, насколько вероятно завершить проект за 35 недель.
Это означает, что менеджер проекта имеет лишь 19%-й шанс выполнить проект в 35-недельный срок. Обратите внимание, что данная степень вероятности характеризует, по сути, только критический путь {A→C→F→G}. Поскольку в сетевом графике есть еще один критический путь, а также другие пути, которые в ходе реализации проекта тоже могут стать критическими, фактическая вероятность выполнения проекта за 35 недель будет меньше 0,19.
6.2. Имитационное моделирование
Цель имитационного моделирования – создать среду или устройство, позволяющие путем эксперимента получить нужную информацию об объектах окружающего мира, не общаясь непосредственно с этими объектами. При проведении количественного анализа имитация является основой экспериментов, проводимых на математических моделях.
Имитационные модели часто используются для анализа решений, принимаемых в условиях риска, т.е. для анализа моделей, в которых поведение (или значение) некоторых факторов заранее не известно. Такие факторы называются случайными величинами (пе- ременными). Поведение случайных величин описывается распределением вероятностей. Этот тип имитации иногда называют методом Монте-Карло.
Предположим теперь, что продолжительность задачи является случайной величи- ной, подчиненной нормальному распределению. Нормальное распределение играет большую роль в имитационных моделях. В Excel есть встроенная функция НОРМОБР, которая позволяет получить значение нормально распределенной случайной величины. Например, чтобы получить значение нормально распределенной случайной величины со средним 1000 и стандартным отклонением 100, надо применить формулу Excel =
НОРМОБР(СЛЧИС(); 1000; 100).
Пример 6.3. «Снеси – Построй»
|
|
|
|
Таблица 6.5 |
|
|
|
|
|
Стадия |
Описание |
Ожидаемая |
Последова- |
Предшест- |
|
|
длительность |
тель |
венник |
|
|
(дней) |
|
|
A |
Установить взрывные заряды |
5 |
D |
|
B |
Эвакуировать окружение |
4 |
D |
|
C |
Подготовить колонну грузовиков |
3 |
E |
|
D |
Взорвать здание |
1 |
E |
A,B |
E |
Разобрать развалины и вывезти |
7 |
F, G |
C,D |
|
строительный мусор |
|
||
|
|
|
|
|
F |
Вырыть котлован |
12 |
H, I |
E |
G |
Подвести коммуникации |
15 |
I |
E |
90