1) A&¬Д&¬Б&Е&Г&С, 2)¬Б &¬Е&¬Д&¬С&А&Г, 3)¬Е&¬А&¬Г&Д&С&Б, 4)¬Б&¬Г&¬А&Д&Е&С, 5)¬С&¬А&¬Б&Д&Е&Г.

По условиям задачи только два участника решили все задачи. Поэтому формулы, содержащие три пропозициональные переменные без отрицания ложны, а одна, содержащая только две пропозициональные переменные без отрицания, отвечает поставленным условиям. Это - ¬Б&¬Е&¬Д&¬С&А&Г. Следовательно, все задачи на олимпиаде решили Андрей (А) и Григорий (Г).

Примеры показывают, что всякую формулу алгебры логики можно заместить равносильной формулой, содержащей только две логических связки: дизъюнкцию и отрицание или конъюнкцию и отрицание или три логических связки: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Этот факт показывает, что эти логические связки представляют функционально полные алгебраические системы.

1.1.1.5.Нормальные формы формул

Валгебре высказываний используют две нормальные формы: дизъюнктивную (ДНФ) и конъюнктивную нормальные формы формул (КНФ).

ДНФ есть формула, равносильная формуле исходной логической функции и записанная в виде дизъюнкции

элементарных конъюнкций, построенных на пропози-

циональных переменных, т.е. F = K1 K2 K3 …, где каж-

дая Ki = (A&B&C&…).

В элементарной конъюнкции нет двух одинаковых

пропозициональных переменных, так как A&A ≡ A, а в ДНФ нет двух одинаковых элементарных конъюнкций, так как K K ≡ K. Если одна из элементарных конъюнкций содержит (A& A), то ее следует удалить из формулы ДНФ по закону противоречия.

Пример 1.30. Если F=F1&(F2 ¬F2) F2&(F1 ¬F1), то по закону

дистрибутивности имеем

F=F1&F2 F1&¬F2 F1&F2 ¬F1&F2= F1&F2 F1&¬F2 ¬F1&F2. Так сформирована ДНФ.

КНФ есть формула, равносильная формуле исходной логической функции и записанная в виде конъюнкции

элементарных дизъюнкций, построенных на пропози-

циональных переменных, т.е. F = D1&D2&D3&…, где каж-

дая Di=(A B C …).

В элементарной дизъюнкции нет двух одинаковых пропозициональных переменных, так как A A ≡ A, а в КНФ нет двух одинаковых элементарных дизъюнкций, D&D ≡ D. Если одна из элементарных дизъюнкций содержит (F F), то ее следует удалить из КНФ по закону исключенного третьего.

Пример 1.31. Если F=F1&(F1 F2) ¬F2&(F1 F2), то по закону дистрибутивности имеем F=(F1 F2)&(F1 ¬F2). Так сформирована КНФ.

Наибольшее распространение в логике высказываний получили формулы КНФ, элементарные дизъюнкции которых Di принято называть дизъюнктами, а члены каждого дизъюнкта A, B, C –атомами.

Алгоритм приведения формулы к нормальной

форме.

Шаг 1. Устранить «↔» и «→» всюду по правилам:

(F1↔F2)≡ (F1→F2)&(F2→F1)≡ (¬F1 F2)&(¬F2 F1)≡

≡¬(¬(¬F1 F2) ¬(¬F2 F1))≡

F1&F2 ¬F1&¬F2, (F1→F2)≡ ( F1 F2)≡¬(F1&¬F2).

Шаг 2. Продвинуть отрицание до пропозициональной переменной по правилам:

¬(¬F) ≡ F, ¬(F1 F2)≡(¬F1&¬F2), ¬(F1&F2)≡(¬F1 ¬F2).

Шаг 3. Применить закон дистрибутивности:

а) для КНФ: F1 F2&F3≡(F1 F2)&(F1 F3), b) для ДНФ: F1&(F2 F3)≡ F1&F2 F1&F3.

Пример 1.32. F=((F1→(F2 ¬F3))→F4). Преобразовать формулу к виду КНФ.

• Удалить всюду символ «→»:

F=¬(¬F1 F2 ¬F3) F4),

• выполнить логическую операцию отрицания формулы:

F=F1&¬F2&F3) F4),

• применить закон дистрибутивности:

F=(F1 F4)&(¬F2 F4)&(F3 F4). Это – КНФ формулы. Пример 1.33. F=¬(F1&F2)&(F1 F2). Преобразовать

формулу к виду ДНФ.

• Выполнить операцию отрицания формулы:

F=(¬F1 ¬F2)&(F1 F2),

• применить закон дистрибутивности:

F=( F1&¬F1 F1&¬F2 F2&¬F1 F2&¬F2,

• применить закон противоречия:

F=F1&¬F2 F2&¬F1. Это – ДНФ формулы.

Если каждая элементарная конъюнкция (или элемен-

тарная дизъюнкция) формулы содержат символы всех пропозициональных переменных, то такая формула назы-

вается совершенной. Есть совершенные дизъюнктивные нормальные формы формулы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы формулы (СКНФ).

Алгоритм преобразования ДНФ к виду СДНФ.

Шаг 1:.если в элементарную конъюнкцию F не входит подформула Fi или ¬Fi, то дополнить элементарную конъюнкцию формулой (Fi ¬Fi)=и и выполнить преобразование формулы по закону дистрибутивности F&(Fi ¬Fi)

≡ F&Fi F&¬Fi,

Шаг 2: если в элементарную конъюнкцию F не входит подформула Fj или ¬Fj, то повторить шаг 1, иначе – конец.

Пример. 1.34 Дано

F=F1&¬F2 F1&¬F3&F4 F1&F2&F3&¬F4.

Преобразовать формулу к виду СДНФ:

•F=F1&¬F2&(F3 ¬F3) F1&¬F3&F4&(F2 ¬F2)

F1&F2&F3&¬F4;

•F=F1&¬F2&F3 F1&¬F2&¬F3 F1&F2&¬F3&F4 F1&¬F2&

¬F3&F4

F1&F2&F3&¬F4;

• F=F1&¬F2&F3&(F4 ¬F4) F1&¬F2&¬F3&(F4 ¬F4) F1&F

2&¬F3&F4

F1&¬F2&¬F3&F4 F1&F2&F3&¬F4;

• F=(F1&¬F2&F3&F4) (F1&¬F2&F3&¬F4) (F1&¬F2&¬F3

(F1&¬F2&¬F3&F4)

(F1&F2&F3&¬F4). Так получена формула СДНФ.

Алгоритм преобразования КНФ к виду СКНФ.

Шаг 1: если в элементарную дизъюнкцию F не входит подформула Fi или ¬Fi, то дополнить элементарную дизъюнкцию высказыванием (Fi&¬Fi)=л и выполнить преобразование формулы по закону дистрибутивности F (Fi &¬Fi)

≡ (F Fi)&(F ¬Fi),

Шаг 2: если в элементарную конъюнкцию F не входит подформула Fj или Fj, то повторить шаг 1, иначе – конец.

Пример 1.35. Дано F=(F1 F2)&(¬F1 ¬F2 F3 F4).

Преобразовать формулу к виду СКНФ:

•F=(F1 F2 F3&¬F3) &(¬F1 ¬F2 F3 F4);

•F=(F1 F2 F3) &(F1 F2 ¬F3) &(¬F1 ¬F2 F3 F4);

•F=(F1 F2 F3 F4&¬F4)&(F1 F2 ¬F3 F4&¬F4)&

&(¬F1 ¬F2 F3 F4); F=(F1 F2 F3 F4)&(F1 F2 F3 ¬F4)&(F1 F2 ¬F3 F4)&(F1 F

2 ¬F3 ¬F4)& &(¬F1 ¬F2 F3 F4). Так преобразования заданная формула к виду СКНФ.

Совершенные нормальные формы удобно записывать по таблицам истинности, используя значения пропозициональных переменных для всех значений, описываемых формулой.

Например, для формулы

F=(A→(B C))&(B→D)&((D&A)→ C) по таблице истин-

ности 1.1 можно найти равносильные СДНФ

F=(¬A&¬B&¬C&¬D) (¬A&¬B&¬C&D) (¬A&¬B&C&