•r’=(r1><r2)= (r2><r1) - операция соединения коммутативна,

•r’=(r1><r2)><r3=r1><(r2><r3) – операция соединения ас-

социативна.

1.3.2. Реляционное исчисление*

Если результатом алгебраической операции над отношениями является отношение, которому может быть присвоено имя, то результатом реляционного исчисления является множество кортежей t, каждый из которых определяется истинным значением некоторой логической функции F(t).

На множестве кортежей t определим переменные-

кортежи (x, y, z,...) и постоянные–кортежи (a, b, c,...). Тогда элементарная формула отношения есть:

•если r - отношение, а t - кортеж, то r(t) –элементарная формула,

•если x и y – переменные-кортежи и дан оператор θ, то

(x(Ai)θy(Aj)) - элементарная формула, где Ai и Aj – атрибуты кортежа.

•никаких других элементарных формул нет.

Введем также понятия свободных переменныхкортежей и связанных переменных-кортежей. Пере-

менная-кортеж является связанной, если ей предшествует квантор по этой же переменной и свободной в противном случае. Тогда формулы реляционного исчисления с пере- менными-кортежами могут быть определены из элементарных формул так:

• любая элементарная формула есть формула, т.е. F= r(t)

* по материалам [14]

и

F= x(Ai)θy(Aj),

•если F1 и F2 -формулы, то (¬F), (F1 F2), (F1& F2) - так-

же формулы,

•если x – переменная-кортеж и F(x) - формула, то

x(F(x)) и x(F(x)) - также формулы.

•никаких иных формул нет.

Так r’={t’| t' t, F(t)} есть множество свободных пе- ременных-кортежей t’ при значении формулы F(t)=и для связанных переменных-кортежей.

Операция выборки

r’={t’| x(r(x)&(<условия на атрибуты переменногокортежа>)}.

Например, (x(Ai)θki), (x(Ai)θki)and(x(As)θks), (x(Ai)θki)or (x(As)θks), (x(Ai)θx(As)) или Aj:=f(As).

Квантор существования выбирает такие переменныекортежи, для которых формула (<условия на атрибуты пе- ременного-кортежа>) имеет значение истины.

Операция проекции

r’={t’| x(r(x)&(<порядок следования атрибутов>)}. Квантор всеобщности использует в отношении-

результате все кортежи исходного отношения, но не все его компоненты-атрибуты. Эта операция позволяет также переупорядочить расположение атрибутов в кортеже.

Операция объединения

r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&((t’=x) (t’=y))}.

Квантор всеобщности объединяет в отношении r’ все кортежи отношений r1(x) и r2(y). Если атрибуты кортежей

неупорядочены, то атрибуты кортежа второго отношения должны быть упорядочены также, как у кортежей первого отношения (см. операцию проекции).

Операция разности

r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&((t’=x)&¬(t’=y))}.

Кванторы существования накладывают условия для извлечения только таких кортежей первого отношения, которых нет во втором.

Операция пересечения

r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&(t’=x)&(t’=y)}.

Кванторы существования позволяют выбрать одинаковые кортежи в первом и втором отношениях.

Операция прямого произведения r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&(t’[1]=x[1])&(t’[2]=x[2])&...&(t’[n1] =x[n1])&(t’[n1+1]= y(At))&(t’[n1+2]=y[2]) &...

&(t’[n1+n2]=y[n2]))}.

Кванторы всеобщности позволяют приписать каждый кортеж второго отношения к каждому кортежу первого отношения (операция конкатенации). В каждом поле формируемого отношения должно быть указано (<имя_отношения>”.”<имя_атрибута>).

Операция естественного соединения r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&(<отношение_1>”.”<атрибут_п

еременногокорте-

жа><равенство><отношение_2>”.”<атрибут_переменного-

кортежа>)&(t’[1]=x[1])&…&(t’[n1]=x[n1])&…&(t’[n1+1]=y[

1])&(t’[n1+2]= =y[2])&...&(t’[n1+n2-1] = y[n2]))}.

Кванторы существования обусловлены выбором пе- ременных-кортежей, имеющих одинаковые значения одноименных атрибутов двух отношений.

Операция θ-соединения r’={t’| x y(r1(x)&r2(y)&(<отношение_1>”.”<атрибут_п

еременногокорте-

жа><оператор_сравнения><отношение_2>”.”<атрибут_пе ремен ного-

кортежа>)&(t’[1]=x[1])&..(t’[i]=x[i])&…&(t’[n1]=x[n1])&(t’[ n1+1]= =y[1])&…&(t’[n1+j]=y[j])&...&(t’[n1+n2]=y[n2]))}.

Условиями могут быть, например, (r1.x(Ai)θ r2.(y(f(Ai)))), или (r1.x(f(A))θr2.y(Ai)), или ((r1.x(Ai)θ r2.y(Ai))and(r1.x(Au)θr2.y(Av))), или ((r1.x(Ai)θ r2.y(Ai))or(r1.x(Au)θr2.y(Av))) и т. п.

1.3.3. Языки реляционной логики

Одним из таких языков является язык SQL (Structured Query Language – структурный язык запросов), используемый во всех инструментальных средствах разработки

INFORMIX.

Формат записи операторов SQL свободный. Можно писать прописными или строчными буквами все подряд на одной строке, один оператор на нескольких строках, слова операторов можно разделять произвольным количеством пробелов и т.п.

Несмотря на свободный формат записи операторов

SQL, синтаксическую структуру любого запроса удобнее представить так:

SELECT <список атрибутов>

FROM <список отношений>

WHERE <предикат >, где

<список атрибутов>:=<атрибут >{«,»<атрибут>}, <список отношений>:=<отношение>{«,»<отношение>}, <предикат >:=< выражение>.

<выражение>:=<отношение>”.”<атрибут><оператор_сравнения> <отношение>”.”<атрибут>| <выражение>«AND»<выражение>| <выраже- ние>«OR»<выражение >|«NOT»<выражение>. <оператор_сравнения>:= «=»| «≠»| «<»| «>»| «≤»| «≥».

Для объяснения элементов реляционной логики достаточно ознакомиться с одним оператором группы манипулирования данными. Это - SELECT – выбор кортежа из отношения.

Первая строка инструкции - оператор SELECT – определяет схему формируемого отношения rel(r’), что в реляционной алгебре исполняет оператор πrel(r). Порядок и число атрибутов в формируемом отношении задан <списком атрибутов>. Если в <списке атрибутов> должны быть атрибуты из разных отношений, то в имени атрибута должны быть указаны имена отношений <атрибут>:= <имя_отношения>«.»<имя_атрибута>.

Например, SELECT r1.A1, r3.A4.

Вторая строка - оператор FROM – указывает список используемых отношений. Порядок кортежей в формируемом отношении управляется оператором ORDER BY,

3

Третья строка - оператор WHERE –формирует заданием предиката условия для извлечения из анализируемых отношений свободных переменных-кортежей, что в реляционной алгебре исполняет оператор δB(r1).

В предложении WHERE при формировании условий могут быть использованы логические связки AND, OR, NOT. Синтаксическая структура предложения имеет вид: <выражение>:=<выражение>AND<выражение>|<выражение>OR<в ы- ражение>|”NOT”<выражение>.

Например, можно создать такие запросы и получить соответствующие ответы в виде таблиц.

Синтаксическая структура бинарных операций

UNION, MINUS, (DIFFERENCE), INTERSECTION на язы-

ке SQL имеет следующий вид:

SELECT <список атрибутов> SELECT <список атрибутов>

FROM <отношение> FROM <отношение>

[WHERE <предикат >] [WHERE <предикат >]

UNION

MINUS

SELECT <список атрибутов> SELECT <список атрибутов>

FROM <отношение>

FROM <отношение> [WHERE <предикат >].

[WHERE <предикат >].

Синтаксическая структура операции естественного соединения (JOIN) на языке SQL имеет следующий вид:

SELECT <список атрибутов>

FROM <отношение_1>INNER JOIN <отношение_2> ON<отношение_1>«.»<атрибут><оператор_сравнения

><отношение_2>«.»<атрибут>.

Синтаксическая структура операции θ-соединения (θ- JOIN) на языке SQL имеет следующий вид:

SELECT <список атрибутов>

FROM <отношение_1>INNER JOIN <отношение_2> ON<отношение_1>«.»<атрибут><оператор_сравнения

><отношение_2>”.”<атрибут>. WHERE <предикат>.

Часто используют в операторе WHERE вложенные подзапросы, которые генерируют промежуточные отношения. На это указывает оператор IN, используемый для выяснения принадлежности элемента множеству.

SELECT<список атрибутов>

FROM <список отношений> WHERE <предикат> IN

SELECT<список атрибутов>

FROM<список отношений> WHERE<предикат>.

Вложенный подзапрос формирует множество кортежей непоименованного отношения, которое было динамически создано и может отличаться от любого хранимого отношения. Поскольку это отношение неименовано, оно может использоваться только в том месте, в котором оно появляется в подзапросе. К такому отношению невозможно обратиться по имени из какого-либо другого запроса.

Операции, которые можно применить к подзапросу, основаны на тех операциях, которые можно применить к

множеству: x IN X, т.е. x X, x NOT IN X, т.е. x X.

При использовании оператора IN неявно применяется квантор существования, т.е. WHERE x IN P эквивалентно формуле x(P(x)). При использовании оператора NOT IN неявно применяется квантор всеобщности, т. е. WHERE x NOT IN P эквивалентно формуле x(P(x)).

Пример 1.94.

SELECT ФАМИЛИЯ, ДИСЦИПЛИНА, ОТЧЕТНОСТЬ

FROM преподаватель_1

WHERE ДИСЦИПЛИНА=электроника IN

SELECT ДИСЦИПЛИНА

FROM учебный_план_1

WHERE учебный_план_1.ДИСЦИПЛИНА= преподаватель_1.ДИСЦИПЛИНА

В данном запросе требуется найти всех преподавателей кафедры …, ведущих занятия по дисциплине “электроника».

Некоторые операции языка SQL основаны на арифметических действиях, они являются встроенными функциями, их результатом является число. а именно:

COUNT (X) – количество элементов множества X, т.е.

|X|.

SUM(X) – сумма всех элементов множества X, MAX(X) – максимальный элемент множества X, MIN(X) – минимальный элемент множества X, AVG(X)= SUM(X)/COUNT(X) – среднее значение

элемента множества X.

Синтаксическая структура этих операций имеет вид: SELECT

[COUNT<атрибут>|SUM<атрибут>|MAX<атрибут>| MIN<атрибут>| AVG<атрибут>].