Практическая работа № 5 (часть 1) Тема: Корреляционный анализ

Цель задания

• построить таблицу сопряженности между изучаемыми случайными величинами;

• провести корреляционный анализ

Для выполнения задания необходимы: журнал для практических работ [1], методические указания для обработки данных в программе [2].

Ход выполнения:

1. Построение корреляционной решетки

Основой корреляционного анализа является таблица сопряженности между изучаемыми переменными (Табл.5.1) журнала [1]. Для построения корреляционной таблицы необходимо:

• определите, что является X - аргументом, а что Y - функцией (что является причиной, а что следствием). В нашем примере аргумент – D, функция - H;

• следующим шагом является определение величин интервалов С_x и C_y, количества классов k_x и k_y по двум переменным, (для нашего примера величины интервалов С_x=4 и C_y=1,);

• в координатах исследуемых признаков найдите местоположение каждой пары случайных величин (X_i, Y_i) методом «точковки»;

• подсчитайте сумму частот по каждому классу в столбцах и строках, итоговая сумма строк и столбцов должна совпадать и равняться объему выборки, взятому для исследования;

• проведите анализ распределения в таблице: по форме, направлению, тесноте связи.

В нашем примере (Табл.5.1) связь между изучаемыми показателями: прямая, криволинейная, по тесноте – высокая.

2. Вычисление коэффициента корреляции для большой выборки

При вычислении статистик связи для большой выборки данные группируются в корреляционную решетку и проводятся дополнительные расчеты:

1. Определите условные центры по ряду X и Y - это классы, имеющие наибольшую частоту или близкие к середине ряда. В нашем случае в ряду X условное средне X_o =32, в ряду Y - Y_o =26.

2. Рассчитайте условные отклонения:

Ai=

Bi=

где: X_i, Y_i – это отдельные значения вариант по ряду X и Y.

Часть отклонений имеет знак «+», другая часть – «-».

3. Далее заполните графы в соответствии с формулами, записанными в таблице:

A_in_i, B_jn_j, - умножьте условные отклонения на соответствующие им частоты, как по ряду X, так и Y;

A_i²n_i, B_j²n_j - перемножьте квадраты условных отклонений на соответствующие частоты, как по ряду X, так и Y;

∑B_jn_i, -– последовательно суммируйте произведения условных отклонений B_j по классам на соответствующие частоты n_i; (расчеты проводятся по строкам);

Пример: расчеты по первой строке

1*(-6)+5*(-5)*1*(4)=-35.

∑B_jn_i A_i –рассчитанное значение ∑B_jn_i умножьте условное отклонение по ряду X A_i: -35*(-2)= 70;

4. Следующим этапом вычислите средние по классам по ряду X и Y, как средневзвешенное с учетом веса каждого класса (частоты):

_{Пример:}

5. Расчет:

• моментов

  m1x==	m2x==
  m1y==	m2y==
  mxy==
  средних квадратических отклонений по ряду X и Y:
  =	=

• коэффициента корреляции R:

R ==.

• ошибки коэффициента корреляции m_R:

• критерия достоверности Стьюдента t_ф

_tф==.

Коэффициент корреляции R=0,828, можно сделать вывод - теснота связи между диаметром на высоте груди и высотой деревьев – высокая.

Таблица 5.1

Построение корреляционной решетки между изучаемыми признаками __H_ и _D___

Признаки		Высота, м											Час-тота, nx		Ai		Aini		Ai2ni		 bj ni		bjAini		Средние по клссам
		Действительные значения классов по H
		20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
Действительные значения класов по_D_	20	1	5	1								7		-3		-21		63		-35		105		21,0
	24			2	5	1	1	1				10		-2		-20		40		-26		52		23,4
	28			3	2	4	4	2				15		-1		-15		15		-30		30		24,0
	32					5	5	3	1			14		0		0		0		-14		0		25,0
	36					1	1	8	2			12		1		12		12		-1		-1		25,9
	40						2	2	1	6		11		2		22		44		11		22		27,0
	44								3			3		3		9		27		3		9		27,0
	48							1	1			2		4		8		32		1		4		26,5
	52										1	1		5		5		25		3		15		29,0
ny		1	5	6	7	11	13	17	8	6	1	75				0		258		-88		236
bj		-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
bj nj		-6	-25	-24	-21	-22	-13	0	8	12	3	-88		
bj2nj		36	125	96	63	44	13	0	8	24	9	418		
Средние по клссам		20	20	25,33	25,14	30,18	31,69	34,82	40,50	40,00	52,00

• коэффициент детерминации R²

R²=0,686 – означает, что диаметр на высоте груди объясняет на 68,6 % изменчивость высоты деревьев, остальные 31,4% приходится на другие факторы, не вошедшие в анализ.

Число степеней свободы df=N-2=75-2=73

Критерий достоверности Стьюдента табличный (Прил.1) tRst5%=1,96

Выводы:

Сравниваем t_ф > t_st5%, 12,63>1,96, делаем вывод, что достоверность коэффициента корреляции высокая на 5% уровне значимости. Между диаметром деревьев и высотой наблюдается положительная связь, теснота которой - высокая.