5.8.2. Метод вычисления теоретических частот нормального распределения. Пример применения критерия χ 2

Метод вычисления теоретических частот, если предполагаемое распределение генеральной совокупности является нормальным, изложен в этом разделе в виде примера.

Пусть из исследуемой генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 370. Пусть весь интервал полученных при измерениях численных значений признакаXразбит наe = 9 частичных интервалов (x_i , x_{i+ 1}) одинаковой длины. Результаты измерений сведены в таблицу 5.1:

Таблица 5.1

Номер интервала	Границы интервала		Середины интервалов	Эмпирические частоты
i	xi	xi+1	xic	ni
1	12,5	17,5	15	7
2	17,5	22,5	20	12
3	22,5	27,5	25	39
4	27,5	32,5	30	76
5	32,5	37,5	35	107
6	37,5	42,5	40	86
7	42,5	47,5	45	28
8	47,5	52,5	50	11
9	52,5	57,5	55	4
				n = 370

Здесь n_i - число измеренных значений признакаX , попавших в интервал номерi .

Выборочная средняя равна

,

а выборочное среднее квадратичное отклонение σ_в = 7,40 .

Для вычисления теоретических частот n_i´ сначала нужно от величиныX перейти к нормированной случайной величинеи найти границы интервалов (z_i ,z_{i + 1} ) , соответствующих интервалам (x_i ,x_i+1 ).

Таблица 5.2

Номер интервала	xi -	x I+1 -	Границы интервала (zi ,zi + 1 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9	- ∞ - 17,14 - 12,14 - 7,14 - 2,14 2,86 7,86 12,86 17,86	- 17,14 - 12,14 - 7,14 - 2,14 2,86 7,86 12,86 17,86 + ∞	- ∞ - 2,314 - 1,639 - 0,964 - 0,289 0,386 1,061 1,736 2,411	- 2,314 - 1,639 - 0,964 - 0,289 0,386 1,061 1,736 2,411 + ∞

Затем нужно вычислить теоретические вероятности p_i попадания величиныX в интервалы (x_i ,x_{i+ 1} ):

p_i = Ф(z_{i + 1}) – Ф(z_i) ,

где Ф(z) – функция Лапласа. Теоретические частотыn_i´вычисляются по формулеn_i´ =n p_i.

Таблица 5.3

Номер интервала	Ф(zi)	Ф(zi + 1)	pi = Ф(zi + 1) – Ф(zi)	ni´ = n pi = 370 pi
1 2 3 4 5 6 7 8 9	- 0,5 - 0,4896 - 0,4495 - 0,3327 - 0,1137 0,1502 0,3556 0,4587 0,4838	- 0,4896 - 0,4495 - 0,3327 - 0,1137 0,1502 0,3556 0,4587 0,4838 0,5	0,0104 0,0401 0,1168 0,2190 0,2639 0,2054 0,1031 0,0251 0,0162	3,848 14,837 43,216 81,030 97,643 75,998 38,147 9,287 5,994 ∑ ni´ = 370

После этого с помощью критерия χ²проверяется нулевая гипотеза Н₀ , состоящая в том, что генеральная совокупность, выборка из которой представлена в таблице 5.1 , имеет нормальное распределение. Проверка будет проведена при уровне значимости α = 0,05 .

Подставляя n_iиn_i´ из таблиц 5.1 и 5.3 в выражение (5.3), находим наблюдаемое значение критерияχ² :

= = 9,74 .

Число групп выборки s = 9, число степеней свободыk =s– 3 = 6. По таблице критических точек распределенияχ² (Приложение 5), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободыk= 6 находим критическую точку := 12,6 . Так как <, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. То есть данные измерений, представленные в таблице 5.1, согласуются с гипотезой о нормальности распределения генеральной совокупности. Различие наблюдаемых и теоретических частот является незначимым. Это различие вызвано случайностью при составлении выборки и не противоречит утверждению, что распределение генеральной совокупности является нормальным.

На рис. 5.1 изображены диаграмма частот, построенная по данным измерений, представленным в таблице 5.1, и график нормального распределения, соответствующий теоретическим частотам n_i´ , приведенным в таблице 5.3.

Рис. 5.1