Глава 5. Проверка статистических гипотез

5.1. Статистические гипотезы.

Полное вероятностное описание некоторого признака объектов генеральной совокупности было бы достигнуто, если бы удалось найти закон распределения значений этого признака по всей генеральной совокупности. С помощью прямых измерений, как правило, законы распределения значений признаков в генеральных совокупностях определить невозможно. Основная причина этого – слишком большое число объектов, из которых состоит генеральная совокупность.

В некоторых случаях на основании предшествующего опыта (или на основании общих результатов теории) тип закона распределения признака может считаться известным, однако при этом параметры закона распределения не известны.

Особенностью статистических методов отыскания законов распределения признаков в генеральных совокупностях является то, что эти законы (и их параметры) находятся не путем какого-либо прямого расчета. Как будет ясно из дальнейшего, решение, например, задачи отыскания неизвестного закона распределения можно разделить на два этапа:

1) выдвижение гипотез о возможном виде закона распределения признака; 2) выяснение того, какая из выдвинутых гипотез соответствует истине. Аналогично проводится и отыскание величины параметров распределений: сначала выдвигается гипотеза, что неизвестный параметр θ может быть равен определенному значению θ₀ , а затем устанавливается, верна ли эта гипотеза.

Таким образом, существует большой класс задач математической статистики, решение которых состоит в выдвижении и последующей проверке статистических гипотез.

Статистическими называют гипотезы о виде неизвестного закона распределения или о значениях параметров известных распределений.

Например, статистическими будут гипотезы: 1) генеральная совокупность распределена по нормальному закону; 2) дисперсии двух совокупностей (с известными законами распределения) не равны между собой. В первой гипотезе речь идет о виде неизвестного распределения, во второй – о соотношении параметров двух известных распределений. Возможны и другие гипотезы: о равенстве (или неравенстве) параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Исходную выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной)и обозначаютН₀.

Для любой нулевой гипотезы существует противоречащая ей гипотеза. Противоречащую гипотезу обычно формулируют одновременно с основной. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то справедливой будет считаться противоречащая выдвинутой гипотеза.

Конкурирующей (альтернативной)называют гипотезуН₁ , которая противоречит основной.

Например, если нулевая гипотеза H₀ состоит в предположении, что среднее квадратичное отклонение нормального распределения равно 1, то конкурирующая гипотеза может быть сформулирована, в частности, так:≠ 1. Коротко это принято записывать следующим образом:

Н₀ := 1;Н₁ :≠ 1.

Различают простые и сложные гипотезы.

Простой называют гипотезу, которая содержит только одно предположение. Например, гипотезаН₀ : математическое ожидание нормального распределения равно 5 (при этомуже точно известно) – простая.

Сложной называют гипотезу, которая содержит конечное или бесконечное число предположений. Например, гипотезаН₀ : математическое ожидание нормального распределения равноb, где 3 ≤b ≤ 4 (известно) – сложная.