5.2. Статистические критерии.
Проверка нулевых гипотез производится с помощью статистических критериев.
Статистическим критерием (или простокритерием) называют специально подобранную случайную величину с точно или приближенно известным распределением вероятностей, которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Существует большое число статистических критериев. Наиболее часто употребляемые критерии имеют общепринятые обозначения. Если критерий распределен нормально, то его условились обозначать через UилиZ. Если критерий распределен по закону Стьюдента, то его часто обозначают буквойT, если по закону Фишера-Снедекора, то буквойF , и т.д.
В тех случаях, когда будет необходимо сформулировать утверждение, касающиеся всех критериев, будем обозначать критерий буквой K.
Проверка гипотез, касающихся вероятностного описания изучаемого признака по всей генеральной совокупности, обычно производится по данным измерений этого признака в выборках сравнительно небольшого объема. Поэтому одним из этапов в процедуре проверки гипотез является вычисление численного значения критерия по выборочным данным.
Наблюдаемым значением Kн называют численное значение критерия, вычисленное по выборочным данным.
5.3. Область принятия гипотезы. Критическая область. Критические точки
Процедура проверки нулевой гипотезы начинается с выбора подходящего статистического критерия. Множество всех возможных значений любого критерия K состоит из двух непересекающихся подмножеств: критической области и области принятия гипотезы.
Критической областью называют множество таких значений критерияK, которые соответствуют случаям, когда нулевую гипотезу нельзя считать справедливой.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют множество значений критерияK, которые соответствуют случаям справедливости нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия Kнявляется частным, полученным в данном конкретном эксперименте значением случайной величиныK .
Основное правило проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значениеKнкритерияK принадлежит критической области – нулевую гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – нулевую гипотезу принимают.
Пусть проверка показала, что нулевая гипотеза H0 должна быть принята. Неправильно думать, чтоH0 тем самым доказана. Проверка нулевых гипотез производится на основе выборочных данных. Каждая проверка на основе отдельной совокупности выборочных данных эквивалентна примеру, который подтверждает или опровергает справедливость некоторого утверждения. Однако, даже большое число примеров, подтверждающих справедливость некоторого утверждения, не доказывают его. Поэтому приняты следующие "мягкие" формы выражения результата проверки нулевой гипотезы: "нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу", "данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой".
С другой стороны, достаточно привести хотя бы один пример, противоречащий некоторому утверждению, чтобы доказать, что это утверждение не является верным. Попадание наблюдаемого значения критерия в критическую область является фактом, противоречащим нулевой гипотезе и доказывающим, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута.
На числовой оси критическая область и область принятия гипотезы являются интервалами, разделенными граничными (критическими) точками.
Критической точкой kкр называют точку, которая отделяет критическую область от области принятия гипотезы.
Существуют односторонние (правосторонние или левосторонние) и двусторонние критические области.
Правосторонней критической областью называют множество значений критерия, удовлетворяющих неравенствуK>kкр , гдеkкр – положительное число.
Левосторонней критической областью называют множество значений критерия, удовлетворяющих неравенствуK<kкр , гдеkкр – отрицательное число.
Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.
Двусторонней называют критическую область, значения критерия в которой удовлетворяют неравенствамK<kкр1 иK>kкр 2 , гдеkкр 2 > kкр1 .
Критические точки kкр 2 и kкр1 могут быть симметричны относительно нуля: -kкр1=
= kкр 2 =kкр. В этом случае двусторонняя критическая область определяется неравенствами
K< -kкр , K>kкр (kкр > 0 )
или равносильным неравенством | K| >kкр .
На рис. 5.1 жирными линиями обозначены правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя области.
Рис. 5.1