5.6. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормальной совокупности гипотетическому числовому значению

Пусть значения признака X в некоторой генеральной совокупности распределены нормально и это распределение остается нормальным, хотя величина признакаX у отдельных объектов совокупности изменяется со временем. Генеральная средняяM(X) может изменяться с течением времени. Пусть ее значение в данный момент времени неизвестно, но на основании предыдущих измерений можно предполагать, что она равна некоторому гипотетическому значениюа₀ . Требуется при выбранном уровне значимости α проверить нулевую гипотезуН₀:M(X) =а₀ о равенстве неизвестной генеральной среднейM(X) гипотетическому значениюа₀ . Проверка гипотезыН₀ проводится по несколько различающимся (но по существу схожим) вариантам в зависимости от того, можно ли считать известной дисперсию генеральной совокупности.

1. Пусть из генеральной совокупности X извлечена выборка настолько большого объемаn, что выборочная дисперсия D_в(X) может считаться достаточно хорошей оценкой генеральной дисперсииD(X). В качестве критерия проверки нулевой гипотезыН₀ берут случайную величину

,

где =. Случайная величинаU распределена приближенно нормально с параметрамиM(U) = 0 иσ(U) = 1, поэтому критические точки находятся по таблице функции Лапласа Ф(x) (Приложение 3).

Построение критической области при проверке нулевой гипотезы производится по-разному в зависимости от вида противоречащей гипотезы.

1.1. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀, противоречащая гипотезаН₁ :M(X) ≠а₀ .

В этом случае критическая область является симметричной двусторонней и определяется неравенствами: U < -u_кр иU>u_кр. Критическую точкуu_кр при выбранном уровне значимости α находят из равенства Ф(u_кр) = (1- α)/2 по таблице функции Лапласа. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

U_н = .

Если |U_н| <u_кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |U_н| >u_кр , то нулевую гипотезу отвергают.

1.2. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀, противоречащая гипотезаН₁ :M(X) >а₀ .

В этом случае критическая область является правосторонней и определяется неравенством: U>u_кр. Критическую точкуu_кр при выбранном уровне значимости α находят из равенства Ф(u_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

U_н = .

Если U_н<u_кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если U_н>u_кр , то нулевую гипотезу отвергают.

1.3. . Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀ , противоречащая гипотезаН₁ :M(X) <а₀ .

В этом случае критическая область является левосторонней и определяется неравенством U< -u_кр, причемu_кр при выбранном уровне значимости α находится (как и в п.1.2.) из равенства Ф(u_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

U_н = .

Если U_н > -u_кр , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если U_н < -u_кр , то нулевая гипотеза отвергается.

2. Если выборка, извлеченная из генеральной совокупности X , мала , то выборочная дисперсия D_в(X) не может считаться хорошей оценкой генеральной дисперсииD(X). В этом случае в качестве критерия проверки нулевой гипотезыН₀ берут случайную величину

,

где s – "исправленное" среднее квадратичное отклонение. Случайная величинаT подчиняется распределению Стьюдента сk =n – 1 степенями свободы, поэтому критические точки находятся по таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6).

Построение критической области при проверке нулевой гипотезы производится по-разному в зависимости от вида противоречащей гипотезы.

2.1. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀, противоречащая гипотезаН₁ :M(X) ≠а₀ .

В этом случае критическая область является симметричной двусторонней и определяется неравенствами: T < -t_кр иT>t_кр. Критическую точкуt_кр находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости α , помещенному вверхнейстроке таблицы, и числу степеней свободыk =n – 1 . По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

T_н = .

Если |T_н| <t_кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |T_н| >t_кр , то нулевую гипотезу отвергают.

2.2. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀, противоречащая гипотезаН₁ :M(X) >а₀ .

В этом случае критическая область является правосторонней и определяется неравенством: T>t_кр. Критическую точкуt_кр находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости α , помещенному внижнейстроке таблицы, и числу степеней свободыk =n – 1 . По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

T_н = .

Если T_н<t_кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если T_н>t_кр , то нулевую гипотезу отвергают.

2.3. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X) =а₀, противоречащая гипотезаН₁ :M(X) <а₀ .

В этом случае критическая область является левосторонней и определяется неравенством: T < -t_кр . Значениеt_кр находят (как в п. 2.2.) по таблице критических точек распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости α , помещенному внижнейстроке таблицы, и числу степеней свободыk =n – 1 . По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

T_н = .

Если T_н> -t_кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если T_н< -t_кр , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример5.4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемаn = 18. По этой выборке найдены выборочная средняя_в = 11 и "исправленное" среднее квадратичное отклонениеs = 5,3 . Гипотетическое значение генеральной среднейа₀ = 14 . Требуется при уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезуН₀ :M(X) =а₀, если противоречащая гипотеза имеет видН₁ :M(X) <а₀ .

Решение. Наблюдаемое значение критерия равно

T_н = =.

Критическая область – левосторонняя. Значение t_кр находим по таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6) по уровню значимости α = 0,01 , помещенному внижнейстроке таблицы, и числу степеней свободыk = (n – 1) = 17. Оно оказывается равнымt_кр = = 2,57. Так какT_н = - 2,4 > -t_кр = - 2,57 , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.