5.8. Проверка гипотезы о нормальности распределения генеральной совокупности

5.8.1. Критерий согласия χ 2 (“хи квадрат”) Пирсона

При проверке гипотез о величинах генеральных средних и дисперсий (5.5.-5.7.) закон распределения значений исследуемого признака по всей генеральной совокупности (будем говорить кратко – “закон распределения генеральной совокупности”) предполагался известным. Однако точный вид распределения генеральной совокупности известен не всегда.

Если выборка, извлеченная из генеральной совокупности с неизвестным законом распределения достаточно велика (несколько сотен объектов), то предположения о виде распределения генеральной совокупности могут быть сделаны просто из вида гистограммы, построенной по статистическому распределению выборки. В некоторых случаях такие предположения могут быть сделаны на основе теорем теории вероятностей, например, центральной предельной теоремы.

Проверка гипотез о предполагаемом виде распределения генеральной совокупности производится аналогично проверке гипотез о параметрах распределения, а именно с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют статистический критерий, служащий для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения генеральной совокупности.

Существует большое число критериев согласия. В данной главе рассмотрен критерий Пирсона χ² . Этот критерий является универсальным: он может по единой схеме быть использован для проверки гипотез относительно распределений многих различных видов. Мы ограничимся описанием применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальности распределения генеральной совокупности.

Пусть по результатам nизмерений получено эмпирическое распределение выборки (такое, например, как приведенное ниже в таблице 5.1) и характерная форма гистограммы (рис. 5.1), построенной по этому эмпирическому распределению, приводит к предположению, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Несколько более надежным (чем простое визуальное сравнение графиков) основанием для предположения о нормальности распределения является близость к нулю величин выборочных показателей асимметрииА_ви эксцессаЕ_в(если генеральная совокупность распределена нормально, тоА_в иЕ_в близки к нулю). Пусть, в предположении нормальности распределения генеральной совокупности, вычислены теоретические частотыn_i´(метод вычисления теоретических частот изложен ниже в разделе 5.8.2.). Если эмпирическиеn_iи теоретическиеn_i´ частоты оказались близкими, то это также говорит о том, что распределение генеральной совокупности, возможно, является нормальным. Однако простое сравнение частотn_iиn_i´ не дает оснований для точного (в статистическом смысле) ответа на вопрос, является ли распределение нормальным. Для получения точного ответа на этот вопрос необходимо использование специальных статистических методов проверки статистических гипотез. Одним из таких методов и является метод проверки гипотез с помощью критерияχ² . Как и любой критерий, критерийχ² не доказывает справедливость нулевой гипотезы. Точность в статистическом смысле означает, что критерийχ²лишь устанавливает на выбранном уровне значимости согласие или несогласие нулевой гипотезы с экспериментальными (выборочными) данными.

Проверка гипотез с помощью критерия χ² основана на сравнении наблюдаемых (эмпирических) частот с предполагаемыми теоретическими. Практически всегда эмпирическиеn_iи теоретическиеn_i´ частоты не совпадают. Если это несовпадение вызвано случайными причинами (неудачная выборка, малое число измерений), то несовпадение является незначимым. Если же теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о виде распределения генеральной совокупности, то несовпадение частот является неслучайным (значимым).

Критерием Пирсона χ² называют случайную величину

χ² = . (5.2)

Величина критерия χ² может рассматриваться как мера близости теоретического и эмпирического распределений, т.к. величина его тем меньше, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты.

В теории вероятностей доказывается, что при n → ∞ , независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, закон распределения случайной величины (5.2) стремится к "закону распределенияχ² " сk степенями свободы. Поэтому принято случайную величину (5.2) обозначать черезχ² , а сам критерий называть критерием согласия “хи квадрат”.

Число степеней свободы распределения χ² вычисляют по формулеk = s – 1 –r, где

s – число групп (частичных интервалов) на которые разбивается выборка;r – число параметров предполагаемого распределения.

Нормальное распределение имеет два параметра – математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение. Поэтому, если предполагаемое распределение – нормальное, то

k =( s – 1 – 2) = s – 3.

Правило применения критерия χ ². Чтобы, при выбранном уровне значимости α, проверить нулевую гипотезу Н₀ , что генеральная совокупность распределена нормально, нужно вычислить наблюдаемое значение критерияχ²

= , (5.3)

по таблице критических точек распределения χ², а также по выбранному уровню значимости α и числу степеней свободыk =s – 3 найти критическую точку.

Если <, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если >, то нулевая гипотеза отвергается.