Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>


Пример 1. Рассмотрим			две	функции		z = 2x2 + 3y2		и
z = −2x2 + 3y2 .		Найдем	точки	их	возможного экстремума.
z′x = ±4x = 0 , z′y		= 6 y = 0. =>	x0 = (0,0)	– точка возможного экстремума
для обеих функций. Найдем приращения функций в точке x0							= (0,0) .
∆z = f (x0 + h) − f (x0 ) = ±2∆x2 + 3∆y2 .				Как видно, приращение первой
функции	∆z1	= 2∆x2 + 3∆y2 > 0 , следовательно,				первая	функция
согласно	(2’)	достигает в	точке	x0	= (0,0) строгого		минимума.

Приращение ∆z2 = −2∆x2 +3∆y2 , второй функции не сохраняет знак ни

в какой окрестности точки				x0 = (0,0) . Действительно, при y = x
∆z2 = ∆x2 > 0, а при	y =	1	x	∆z2 = −∆x2 < 0. Это означает, что вторая

функции в точке x0	3
	= (0,0) экстремума не имеет.
Графики данных функций (см. рис).
Z				Z

0	Y		0	Y
X		X
Из примера ясно, что условие f '(x0 ) = 0			не является достаточным для
существования экстремума функции		f (x)	в точке x0 .

§ 14. Достаточные условия экстремума

				n
Квадратичная		форма	A(h) = ∑ aijhih j			называется		строго
				i, j = 1
положительно определенной, если A(h) > 0 для h ≠ 0 .
Если	A(h) < 0	для h ≠ 0 ,		то квадратичная			форма	строго
отрицательно определенная. Если существуют векторы (точки)								h1 ≠ 0 и
h2 ≠ 0 такие, что		A(h1) < 0, A(h2) > 0,			то	квадратичная		форма
называется	неопределенной.		Если	A(h) ≥ 0	( A(h) ≤ 0)		для h ≠ 0 и
			331

существует вектор h1 ≠ 0 такой, что A(h1) = 0, то квадратичная форма называется нестрого положительно (отрицательно) определенной. Например, A(h) = (h1)2 +(h2 )2 (здесь h = (h1, h2) – вектор в R2 ) – строго

положительно определенная квадратичная форма. A(h) = −(h1)2 −(h2 )2

– строго отрицательно определенная квадратичная форма. A(h) = (h1 + h2 )2 – нестрого положительно определенная квадратичная форма, поскольку при h1 = −h2 обращается в нуль. A(h) = (h1 )2 −(h2 )2 –

неопределенная квадратичная форма, так как

при

она

отрицательная, а при

– положительная.

A = (aij )

Если

– матрица квадратичной формы, то определители

a11

a12

...

a1n

∆1 = a11,

∆2 =

a11

a12

,…, ∆n = det A =

a21

a22

...

a2n

называются

a21

a22

... ... ... ...

an1 an2

...

ann

главными минорами матрицы квадратичной формы.

Теорема 1 (критерий Сильвестра).
1)	Если все главные миноры матрицы квадратичной формы
положительные, то		есть ∆1 > 0,	∆2 > 0,…, ∆n > 0 ,		то квадратичная
форма строго положительно определена;
2)	если знаки главных миноров чередуются следующим образом:
∆1 < 0,	∆2 > 0,…,(−1)n∆n > 0,		то	квадратичная	форма	строго
отрицательно определенная;				( ∆1 ≤ 0, ∆1 ≥ 0,…, (−1)n∆n ≥ 0 ) и
3)	если ∆1 ≥ 0,	∆2 ≥ 0,…, ∆n ≥ 0
существует главный		минор ∆i ≠ 0, то		квадратичная	форма	нестрого
положительно (отрицательно) определена;

4) во всех остальных случаях квадратичная форма неопределенная (без доказательства).

332

Лемма.

Квадратичная форма

A(h) = ∑ aijhih j на единичной

i, j = 1

сфере

Ε =

∑hi2 =1 достигает своего минимума и своего максимума.

i=1

Ε =1 замкнутое и

Доказательство. Множество Ε точек сферы

ограниченное,

следовательно,

компактное.

Функция

A(h) ,

представляющая собой многочлен второй степени, непрерывна (см. §5). Но функция, непрерывная на компактном множестве, достигает на нем своего минимума и максимума (см. §5). Лемма доказана.

Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки x0 имеет непрерывные частные производные второго порядка, а ее первые

частные производные в точке x0

обращаются в нуль, то есть x0 – точка

возможного

экстремума

функции. Запишем формулу Тейлора при

m = 2 с остаточным членом в форме Пеано (см. (10) §11).

f (x) − f (x

) =

d 2 f (x

)

+ o(ρ

)

∂2 f (x0 )

dxidx j +ε ρ

∑

(1)

∂xi∂x j

2 i, j = 1

Здесь ρ2 = ∑ (∆xi )2 , а ε

= ε(∆x) → 0 при ∆x →0.

= 1

Заметим, что величина ε может быть и отрицательной.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция

f (x)

определена и имеет непрерывные частные производные второго

порядка в некоторой окрестности точки x0 ,			причем df (x0 ) = 0 . Тогда,
n	∂2 f (x0 )	dxidx j	= df (x0 )
если квадратичная форма ∑	∂xi∂x j
i, j = 1

1)строго положительно определена, то точка x0 – точка строго минимума для функции f (x) ;

2)строго отрицательно определена, то x0 – точка максимума;

3)нестрого определена (положительно или отрицательно), то требуются дополнительные исследования (максимум или минимум могут существовать, а могут и не существовать);

4)не определена, то экстремумов нет.

Доказательство. Перепишем (1) так:

333

f (x) − f (x0) = ∆f = 1 ρ2(

∑

aijhih j + 2ε) = 1 ρ2( A(h) + 2ε) .

(2)

j =

∆x1

Здесь h = ∆x =

∆x2 ,...,

∆xn

– единичный вектор, а квадратичная

∆x

Согласно

форма A(h) определена и непрерывна на единичной сфере.

лемме она достигает на ней своего минимума и максимума.

1) Пусть A(h) строго положительно

определена,

тогда существует

min A(h) = m > 0 . Так как в (2)

ε →0 при ρ →0,

то можно выбрать

такое δ > 0 ,

чтобы

для

ρ <δ

Тогда из

(2)

получим

∆f >

ρ2(m −

m) =

ρ2m > 0

для

ρ <δ .

это

означает,

что

функция f (x)

достигает в точке x0

минимума.

Первое утверждение

теоремы доказано.

2) Если A(h) строго отрицательно

определена,

то достигает своего

отрицательного максимума. Обозначим его (−M ) , M > 0. Величину δ

выберем такой, чтобы

M .

Тогда

из

(2)

получим

∆f <

ρ2(−M +

M ) = −

ρ2M < 0

ρ <δ .

это

означает,

что

функция f (x)

достигает в точке x0

максимума. И второе утверждение

теоремы доказано.

3) Пусть A(h)

нестрого определена, т.е. существует точка h1 ≠ 0 такая,

что A(h1 ) = 0 .

Тогда

A(αh1 ) =α2 A(h1 ) = 0 при любых

α,

то есть в

любой окрестности точки x0 найдутся точки,

в которых ∆f = ε ρ2

(см.

(2)). Поскольку

знак ε

неизвестен,

то нельзя

сказать,

достигает

функция экстремума или нет. Требуются дополнительные исследования. Третье утверждение теоремы доказано.

4) Если существуют такие точки h1 и h2 , что A(h1 ) < 0, A(h2 ) > 0 , то аналогично рассуждая, придем к выводу, что в любой сколь угодно малой окрестности точки x0 знак величины A(h) + 2ε (следовательно, и

знак приращения ∆f ) может меняться. А это означает, что в точке x0 экстремума нет. Теорема доказана.

Замечание. Дополнительные исследования требуются также и в том случае, когда d 2 f (x0) = 0.

334

В частном случае функции двух переменных z = (x, y) утверждения доказанной теоремы запишутся так:

1) если a11 = z′′x2 > 0 и ∆2 = a11a22 −(a12 )2 = z′′x2 z′′y2 −(z′′xy )2 > 0 , то

функция достигает в точке ( x0 , y0 ) минимума;

2)если a11 < 0, а ∆2 > 0 – максимума;

3)если ∆2 = 0, то требуются дополнительные исследования;

4)если ∆2 < 0 – экстремума нет.

Пример 1. Найти экстремумы функции z = −2x2 + 3y2 .
Решение.	Точка	возможного		экстремума		(x	0, y0) = (0,0) ,			(см.
пример 1 в	§13).	′′			′′	=	0, a22	′′		= 6 ,
		a11 = z	2 = −4 ,		a12 = zxy			= z	2
		x						y

∆2 = a11a22 −(a12 )2 = −24 . Так как ∆2 < 0, то экстремума нет. Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

u = x3 + y2 + z2 −3x + 6 y −3z .

Решение. Найдем точки возможного экстремума (стационарные точки). Для этого воспользуемся необходимыми условиями экстремума:

u′x = 3x2 −3 = 0 ,

u′y = 2 y + 6 = 0, u′z

= 2z − 2 = 0.

Решая

эту

систему,

найдем две стационарные точки: (1,-3,1) и (-1,-3,1).

Найдем теперь матрицу квадратичной формы:

′′

= 0 ,

′′

a23

′′

a11 = uz2

= 6x, a12 = uxy

a13 = uxx = 0,

a22 = uy2 = 2 ,

= uyx = 0 ,

a33 = u′′z2

= 2. Заметим,

что эта матрица симметричная. Найдем теперь

главные миноры матрицы квадратичной формы:

∆1 = a11 = 6x, ∆2

a11

a12

=12x , ∆3 =

a11

a12

a13

= 24x .

a21 a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

В первой критической точке (1,-3,1) все главные миноры

положительные:

∆1 = 6,

∆2 =12,

∆3 = 24.

Согласно

критерию

Сильвестра квадратичная форма строго положительно определена. А согласно теореме 2 функция u(x, y, z) достигает в точке (1,-3,1)

минимума umin = −12 .

Во второй стационарной точке (-1,-3,1) все главные миноры отрицательные. Это означает, что квадратичная форма неопределенна, а функция в точке (-1,-3,1) не имеет экстремума.

335

§ 15. Свойства выпуклой функции многих переменных

Поскольку область определения функции многих переменных

множество неупорядоченное, то для функции многих переменных не

имеет смысла понятие возрастания (убывания) функции. Правда, смысл

появляется, если речь идет об определенном направлении, например, в

направлении скорейшего спуска (см. §10). Однако понятие выпуклости

имеет смысл и для функции многих переменных.

Определение.

График

функции

f (x) , заданный на выпуклом

множестве Ε Rn ,

называется выпуклым вниз, если для любых двух

точек x', x '' Ε и любого t [0,1] выполняется неравенство

f (x '+ t(x ''− x ')) ≤ f (x ') + t( f (x '') − f (x ')) .

(1)

Если неравенство (1) строгое, то и график строго выпуклый вниз, если

знак противоположный, то и выпуклость противоположная.

Для функции одной переменной условие (1)

означает, что точки кривой

f (x) лежат не выше

точек хорды, проходящей через любые две точки

кривой (см. рисунок). Такое определение

X’

X’’

выпуклости совпадает с определением, данным

ранее

(см.

§9

гл.6),

если

сделать

замену

x = x1 +t(x2 − x1) . Это определение имеет смысл даже для разрывной

функции. Например, функция

x (0,1),

– выпуклая вниз.

f (x) =

x = 0, x =1

Рассмотрим

некоторые

свойства

непрерывной

дифференцируемой, выпуклой вниз функции, которую будем называть

просто выпуклой.

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости). Если функция

f (x)

дважды

дифференцируема

на

выпуклом

множестве

Ε Rn ,

причем d 2 f (x)	– положительно определенная квадратичная форма на
Ε, то функция	f (x) выпуклая на Ε.
Доказательство. Рассмотрим сложную функцию скалярного
аргумента t [0,1]:
ϕ(t) = f (x '+ t(x ''− x ')) − f (x ') −t( f (x '') − f (x ')) .		(2)

Здесь x', x'' – произвольные фиксированные точки множества Ε. Если ϕ(t) ≡ 0 , то неравенство (1) выполняется и теорема доказана. Пусть ϕ(t)

не обращается тождественно в нуль, однако из (2) следует ϕ(0) =ϕ(1) = 0 . Из дифференцируемости f (x) следует

336

дифференцируемость сложной функции ϕ(t). Запишем для нее

формулу Тейлора	1
ϕ(t) =ϕ '(0)t +		ϕ''(θ)t2	, θ (0,1) .	(3)
	2

Графиком функции (3) является парабола, пересекающая ось t в точках t = 0, t =1. Чтобы определить, куда направлены ветви параболы (вверх или вниз), следует определить знак коэффициента ϕ ''(θ) . Для этого

продифференцируем (2) дважды:


n	∂f (x)		hk	− ( f (x'') − f (x')) ,
ϕ '(t) = ∑	∂xk
k = 1
n	n	∂2 f (x)		hihk	= d 2 f (x) ; x = x'+ th, h = x''− x'.				(4)
ϕ ''(t) = ∑ ∑		∂xk∂xi
k =1i=1					d 2 f (x) > 0	x Ε,		ϕ ''(t) > 0
По условию теоремы							следовательно,
t (0,1) ,	поскольку				ϕ ''(θ) > 0 θ (0,1) .		Это означает,	что	ветви
параболы	ϕ(t) направлены вверх.					Тогда	ϕ(t) < 0 t (0,1) ,		а это

означает выполнение неравенства (1). Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция f (x) , дифференцируемая на выпуклом множестве Ε, является строго выпуклой и достигает в некоторой точке

x0 Ε минимум, то эта точка минимума единственная.

Доказательство. От противного. Пусть

f (x) достигает минимума

в двух точках x' и x''. Тогда из (1) имеем

f (x'') − f (x') >

( f (x'+ t(x''− x')) − f (x')) .

(5)

Меняя местами x'' и x' , получим еще одно неравенство

f (x') − f (x'') >

( f (x''+t(x'− x'')) − f (x'')) .

(6)

Переходя к пределу при t → 0 в правых частях неравенств,

получим

производные

по направлению

векторов

(x''− x') и

(x'− x'') ,

соответственно умноженные на

x''− x'

то есть f (x'') − f (x') ≥

∂f (x')

x''− x'

, где ω1 = (x''− x') /

x''− x'

∂f (x'')

∂ω1

f (x') − f (x'') ≥

x''− x'

, где

ω2

= −

∂ω2

ω1

Так как точки x'', x' – точки минимума, то производные в этих точках по любому направлению не могут быть отрицательными, то есть

337

f (x'') − f (x') ≥ 0 и f (x') − f (x'') ≥ 0. => f (x'') = f (x').

Учитывая последнее равенство, из (1) получим f (x'+t(x''− x')) < f (x') .

Это неравенство показывает, что в любой сколь угодно малой окрестности точки x' существует точка x'+t(x''− x') , в которой

функция принимает значение, меньшее минимального f (x') . Это

противоречит определению минимума. Получили противоречие, которое и доказывает теорему.

§ 16. Норма линейного оператора

Вернемся к линейным операторам, о которых речь шла в §7. Поскольку в нормированном пространстве метрику вводят по формуле

ρ(x, y) = x − y , то определение непрерывности линейного оператора

совпадает с общим определением непрерывности функции в метрическом пространстве (см. §7 гл.4). Однако оператор в силу линейности обладает специфическими свойствами.

Теорема 1. Если линейный оператор A непрерывен в некоторой точке x0 Χ, то он непрерывен в любой точке x Χ.

Доказательство. Пусть произвольная последовательность xn → x

при n → ∞. Тогда yn = x0 + (xn − x) → x0 , Ayn = A(x0 + (xn − x)) → Ax0

по условию теоремы. Представим xn следующим образом xn = yn + (x − x0 ) .

Тогда Axn = A( yn + (x − x0 )) = Ayn + A(x − x0 ) → Ax0 + Ax − Ax0 = Ax ,

то есть Axn → Ax. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим множество L(X ,Y ) всех линейных операторов,

действующих из X в Y . Введем на этом множестве операции умножения оператора на число и сумму операторов. Легко убедиться, что эти операции удовлетворяют аксиомам (3) §1, то есть пространство L(X ,Y ) операторов линейное, а его элементы – векторы. Поэтому в

этом пространстве можно ввести понятие величины вектора, то есть нормы оператора.

Заметим, что понятие функции (следовательно, и линейного оператора) неоднозначное. С одной стороны, это закон отображения (линейный, нелинейный), а с другой – мы пишем y = f (x), x называем

аргументом, а y – функцией, то есть под функцией понимаем уже и

338

значение функции, образ прообраза x . Отсюда ясно, что понятие нормы

оператора следует связать с его значением.

Чтобы упростить запись формул,

под нормой векторов x X

y Y будем понимать их евклидовы

нормы и обозначать

их так:

Ε =

, а норму оператора A будем обозначать

Определение 1. Нормой

оператора A L(X ,Y ),

где

X ,Y

–

нормированные пространства, называют точную верхнюю грань всех

чисел

где x пробегает множество всех векторов пространства

таких, что

≤1, то есть

= sup

(1)

≤ 1

Далее под X ,Y будем понимать Rn и Rm соответственно.

}

Пусть

S =

≤1

– множество точек

единичного

шара,

={x

}

S S ,

–

множество его граничных точек.

Очевидно,

поэтому

sup f (x) ≥ sup f (x) .

(2)

x S

Из (1) следует, что

= sup

(1’)

x S

Следствие 1.

≤

x Rn .

(3)

Доказательство. Произвольный вектор x Rn

можно представить

так: x =

x' , где x' – единичный вектор, то есть x' S . Тогда

Ax'

≤

sup

(2)

sup

(1')

Что

≤

требовалось доказать.

x S

Следствие 2. Если существует число λ такое, что

≤ λ

x Rn ,

(4)

то A ≤ λ .

Доказательство. Из (4) следует sup Ax ≤ λsup x = λ или A ≤ λ . Что

x S

и требовалось доказать.

339

Убедимся, что определенная формулой (1) норма оператора удовлетворяет всем аксиомам, определяющим норму (см. (5) §1).

≥ 0 . Действительно,

sup

отрицательным быть не может, а

x S

= 0 только, если оператор нулевой, то есть Ax =θ x Rn .

λA

Действительно,

λA

= sup

λAx

= sup(

) =

sup

= λ

x S

A + B

≤

(3)

64748

Действительно,

( A + B)x

Ax + Bx

≤

≤(

)

Итак,

( A + B)x

≤ λ

. =>(4)

A + B

< λ =

. Что и требовалось доказать.

Введем в

пространстве операторов L(Rn , Rm )

операцию

умножения операторов: C = B A, если Cx = BAx = B( Ax) ,

x Rn .

Следствие 3.

≤

(3)

Доказательство.

BAx

B( Ax)

≤

или

BAx

≤ λ

, где λ =

, x Rn . Используя следствие 2, запишем

≤ λ или

≤

. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если оператор A L(Rn , Rm ), то он ограничен, то есть

< ∞.

Доказательство. Пусть {ei}in=1 – стандартный базис в Rn . Тогда

x =

x S , то есть

∑ xiei . Если

≤1,

то

∑ xiei

≤

∑

≤1. =>

i = 1

= 1

≤1, i =1,2,..., n .

A( ∑ xiei)

∑ xi Aei

≤ ∑

Aei

≤

∑

Aei

i = 1

Тогда sup

≤

< ∞. ч.т.д.

∑

Aei

x S

i = 1

340

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf