Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5027 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

b	f (x)dx =	lim	b	−∞	f (x)dx =	lim	b	(3)
∫	f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx,	∫	f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx.	(3)
−∞		a→−∞ a		−∞		a→−∞ a
						b→+∞

Заметим, что в (3) a и b стремятся к бесконечности независимо друг от друга.

Отметим также, что если функция f (x) непрерывна на [a,∞), то

(1) определяет одну из первообразных функций f (x), и при её

нахождении можно использовать все методы интегрирования – замену переменных, интегрирование по частям и прочее.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

∞ dx		, a > 0 .
∫
	α
a x

Решение.
∞ dx		x	dt		t	ax

Пусть α =1. Тогда ∫		= lim ∫		= lim ln
	x		t
a		x→∞ a		x→∞

расходится.

= ∞, то есть интеграл

∞ dx

Пусть α ≠1.Тогда ∫

= lim ∫t−α dt = lim

t1−α

−α

x→∞ a

x→∞ 1

1−α

∞,α<1,

= lim

−

1−α

−α

x→∞ 1

,α >1.

α−1

Вывод: данный интеграл сходится при α >1 и расходится при α ≤1.

		∞	sin xdx .
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл ∫			sin xdx .
		−∞
∞	b		ba .
Решение. ∫ sin xdx =	lim ∫sin xdx = − lim cos xdx		ba .
−∞	a→−∞ a	a→−∞
−∞	a→−∞ a	a→−∞
	b→+∞	b→+∞

Очевидно, этот предел не существует. Интеграл расходится.

∞ ln xdx

Пример 3. Вычислить интеграл ∫

Решение.

∞ ln xdx

x ln tdt

U = ln t, dU =

= lim

−

ln t −

1x =

∫

= lim ∫

x→∞ 1 t

x→∞

ln x

dV =

,V = −

− lim

= − lim

−1

= 0 +1 =1.

x→∞

261

Кратко решение записывают так:

∞ ln xdx

ln x

∞

∫

= −

−

1 = 0

+1 =1.

Теорема 1 (критерий Коши).

∞

Для сходимости несобственного

интеграла

∫ f (x)dx необходимо и

достаточно, чтобы для ε > 0 существовало такое A(ε )> 0, что для

всех x′ и x′′ больших A(ε ) выполнялось неравенство

∫ f (t)dt

< ε .

(4)

x '

Доказательство. Согласно критерию Коши функция F (x) имеет

предел при x → +∞ только в том случае, когда для ε > 0 существует
A(ε )> 0 такое, что для x′, x′′ > A(ε ) выполняется неравенство
	F(x") − F(x')	< ε .	(5)

Пусть функция F (x) определяется формулой (1). Тогда (см. рис.)

∫

			A(ε)
x '	x"	a	x’ x”	X
f (t)dt = ∫ f (t)dt +	∫ f (t)dt


a	x '

f (t)dt = F(x") − F(x'). Отсюда ясно, что условие (5) совпадает с (4).

Теорема доказана.

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть f (x)≥ 0, g (x)≥ 0 и

f (x)≤ g (x)	для x ≥ a .				∞
f (x)≤ g (x)	для x ≥ a .	Тогда из расходимости интеграла ∫ f (x)dx
		∞			a
		∞
следует расходимость интеграла			∫ g(x)dx ,	а из сходимости интеграла
			a
∞			∞
∫ g(x)dx следует сходимость интеграла ∫ f (x)dx , причём
a	∞	∞	a
	∞	∞
	∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx .				(6)
	a	a
Доказательство. Так как неравенство можно интегрировать, то из
	f (x)≤ g (x)		x	x	x ≥ a . (7)
неравенства	f (x)≤ g (x)	имеем	∫ f (t)dt ≤ ∫ g(t)dt для		x ≥ a . (7)
			a	a
		262

Поскольку f (x)≥ 0, то расходимость интеграла означает, что предел левой части неравенства (7) равен +∞. Тогда предел правой части этого

				∞
неравенства не может быть конечным,			то есть	∫ g(x)dx расходится.
Первая часть теоремы доказана.				a
Первая часть теоремы доказана.
	∞
Пусть	∫ g(x)dx сходится.	Тогда	согласно	критерию Коши и
	a
	x"	x"
неравенству	(7) имеем ∫ f (t)dt ≤ ∫ g(t)dt < ε .			Это означает, что
∞	x '	x '
∞

интеграл ∫ f (x)dx сходится. Если оба интеграла сходятся, то переходя к

a
пределу в (7), получим (6).
Теорема доказана.
Теорема 3 (предельный		признак		сравнения).		Если
			∞			∞
подынтегральные	функции	интегралов∫ f (x)dx			и	∫ g(x)dx
			a	f (x)		a
положительные и	существует	предел	lim	f (x)	= C > 0 ,	то оба
положительные и	существует	предел	lim		= C > 0 ,	то оба
			x→∞ g(x)

интеграла ведут себя одинаково, то есть сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.			Из существования предела	lim		f (x)			= C

				x→∞ g(x)
следует, что для ε > 0			существует A(ε )> a такое, что		f (x)		−C		< ε


для x > A(ε ). Перепишем это неравенство в виде					g(x)

C −ε <	f (x)	< C +ε (C −ε )g (x)< f (x)< (C +ε )g (x).						(8)

	g(x)
	∞		∞

Если интеграл ∫ g(x)dx сходится, то сходится интеграл ∫ g(x)dx . Тогда

a	A
из правой части (8) и теоремы 2	следует сходимость интеграла
∞	∞
∫ f (x)dx , следовательно, и интеграла	∫ f (x)dx . Первая часть теоремы
A	a
доказана.
263

∞

Пусть интеграл ∫ g(x)dx расходится, следовательно, расходится и

∞

интеграл ∫ g(x)dx . Тогда из левой части (8) и теоремы 2 следует

∞

расходимость интеграла ∫ f (x)dx , следовательно, и интеграла ∫

f (x)dx .

Теорема доказана.

∞

Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл ∫

3 x4 + x

Решение.

Поскольку

при x → +∞, то согласно

3 x4 + x

3 x4

∞

теореме 3 данный интеграл сходится, так как сходится интеграл ∫

3 x4

(см. пр.1).

ln(1+sin

)

∞

dx .

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл ∫

ln(1+sin

)

sin

Решение.

Вывод: интеграл расходится.

§10. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле

Пусть функция f (x) интегрируема по Риману на любом конечном

∞

отрезке [a, x]. Несобственный интеграл ∫ f (x)dx называется абсолютно

∞

сходящимся, если сходится интеграл ∫ f (x) dx , и условно сходящимся,

		a
∞		∞
если интеграл ∫	f (x)	dx расходится, а сам интеграл ∫ f (x)dx сходится.
если интеграл ∫	f (x)	dx расходится, а сам интеграл ∫ f (x)dx сходится.
a		a

264

Теорема 1. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

∞

Доказательство. Пусть ∫ f (x) dx сходится. Тогда по критерию

x′,

x′′ > A(ε ).

Коши ∫

f (x)

dx < ε для ε > 0

и для

Согласно

x '

свойствам интеграла (см. §4)

∫ f (x)dx

≤ ∫

f (x)

dx.

∫ f (x)dx

< ε , то

x '

∞

есть выполняется критерий

Коши

для данного

интеграла

∫ f (x)dx ,

следовательно, он сходится. Теорема доказана.

Замечание 1. Признаки сравнения, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно применять для исследования интегралов на абсолютную сходимость.

Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

∞ sin xdx

∫ x2 .

Решение. Поскольку	sin x	≤	1	, а интеграл	∞	dx	сходится, то по
					∫

	x2		x2			x2
					1

признаку сравнения данный интеграл сходится абсолютно.

Теорема 2 (Абеля-Дирихле). Если

1)функция f (x) непрерывна на полуинтервале [a,∞] и имеет на нем ограниченную первообразную F (x);

2)функция g (x) монотонно убывает, стремится к нулю при x → +∞ и

имеет непрерывную производную g′(x), то несобственный интеграл

∞

∫ f (x)g(x)dx сходится.

a				f (x), g (x), f (x)g (x)
Доказательство.			Поскольку функции	f (x), g (x), f (x)g (x)
непрерывны на		[0,∞), то они интегрируемы			на любом конечном
	[a, x].		x"
отрезке	[a, x].	Рассмотрим интеграл ∫ f (x)g(x)dx (x′ < x′′ ≥ a)				и
			x '
проинтегрируем его по частям:
x"		x"	g(x)dF(x) = g (x)F (x)	xx′′′	x"
∫	f (x)g(x)dx = ∫		g(x)dF(x) = g (x)F (x)	xx′′′	− ∫ F(x)g '(x)dx .	(1)
x '		x '	265		x '
			265

По условию теоремы F(x) ≤ M . Поскольку g (x)→ 0 при x → +∞

монотонно

убывая,

то

g (x)> 0,

g′(x)< 0 . Из (1)

получим

xx′′′ +

(g (x′)− g (x′′))+

∫ f (x)g(x)dx

≤

g(x)F(x)

∫ F(x)g '(x)dx

≤ M

x '

= 2M (g (x′)− g (x′′)).

+M ∫ (−g(x))dx

(2)

x '

g (x)→ 0 при

x → +∞,

Так как

то по

критерию

Коши

g (x′)− g (x′′)<

для

ε > 0 и

для x′,

x′′ > A(ε ),

то есть

выполняется критерий Коши сходимости несобственного интеграла

∞

∫ f (x)g(x)dx . Теорема доказана.

∞ sin xdx

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл ∫

Решение. Доопределим подынтегральную функцию,

то есть

положим

sin x

x = 0 =1, и представим данный интеграл в виде суммы

двух интегралов:

∞ sin xdx

1 sin xdx

∞ sin xdx

∫

= ∫

+ ∫

Поскольку первый интеграл (собственный) существует, то следует исследовать на сходимость только второй интеграл. По признаку

∞ sin xdx

Абеля-Дирихле интеграл ∫

сходится, следовательно, сходится и

∞ sin xdx

. Позже мы докажем, что

данный интеграл ∫

∞ sin xdx

=π 2 .

(3)

∫

∞ | sin x | dx

расходится. Действительно,

Покажем теперь, что интеграл ∫

sin x

≥ sin2 x =

(1 − cos 2x). Тогда

| sin t |

1 x

1−cos 2t

1 x

1 x cos 2t

∫

dt ≥

∫

dt =

∫

−

∫

dt .

(4)

2 1

266

∞ dx

∞ cos 2x

Интеграл ∫

расходится и равен +∞. Интеграл ∫

сходится по

признаку Абеля-Дирихле. Поэтому

переходя в (4) к пределу при

x → +∞, получим,

что

правая

часть

(а,

следовательно,

и левая)

неравенства

стремится

бесконечности.

Следовательно,

интеграл

∞

| sin x | dx

расходится,

а вместе

ним

расходится

интеграл

∫

∞

| sin x | dx

∫

∞ sin xdx

условно сходящийся.

Вывод: интеграл ∫

∞ sin xdx

Замечание

Из

сходимости

интеграла

следует

∫

∞ sin tdt

для

x ≥ 0 .

Этот интеграл определяет

сходимость интеграла ∫

∞ sin tdt

неэлементарную функцию

six =

, о которой говорилось ранее

∫

(см. §9 гл. 7).

∞

Пример

Исследовать

на

сходимость

интеграл

Френеля

∫sin x2dx .

∞

Решение. ∫sin x2dx

∫sin x2dx + ∫sin x2dx = ∫sin x2dx +

∫

xsin x2

Следовательно, интеграл сходится по признаку Абеля-Дирихле. Упражнение. Доказать, что интеграл Френеля сходится условно.

§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда

				∞
Между	несобственными	интегралами	первого	рода ∫ f (x)dx и
	∞			a
	∞
числовыми	рядами ∑U n	существует	глубокая	аналогия. Если
	n=1

суммирование по n заменить интегрированием по x , то общему члену ряда U n будет соответствовать подынтегральная функция f (x).

267

n	x
Частичной сумме ряда ∑U k	– собственный интеграл ∫ f (t)dt . Сумме
k =1	a

	∞	∞
ряда	∑U n	– несобственный интеграл ∫ f (x)dx . Остатку ряда
	n=1	a
rn =	∞	∞
rn =	∑ U n	– интеграл ∫ f (t)dt .
	k =n+1	x

Аналогичны и признаки сходимости для рядов и несобственных интегралов – критерий Коши, признаки сравнения, признак АбеляДирихле и др. Однако полной аналогии нет. Например, нет аналога

∞

необходимому признаку сходимости ряда – если ряд ∑U n сходится, то

n=1

		∞
U n → 0 при n → ∞. Если интеграл ∫ f (x)dx сходится, то f (x) может и
		a		∞
				∞
не стремиться к нулю. Например,		интеграл Френеля ∫sin x2dx сходится
				0
(см. пр. 3 §10), но f (x) = sin x2 не стремится к нулю при x → ∞.
			∞
По определению, несобственный интеграл ∫ f (x)dx сходится, если
функция F (x)= ∫x			a
функция F (x)= ∫x	f (t)dt имеет	предел	при	x → +∞. Согласно
a			F (x)
определению предела функции		по Гейне	F (x)	имеет предел при

x → +∞, если для любой бесконечно большой последовательности {xn }

соответствующая последовательность F (xn )= x∫n f (t)dt сходится.

С другой стороны, вопрос о пределе последовательности F (xn )

тождественен вопросу о сходимости ряда

F (x1 )+(F (x2 )− F (x1 ))+(F (x3 )− F (x2 ))+... +(F (xn )− F (xn−1 ))+... =

∞	xn	∞	x0 = a , так как F (xn ) – частичная сумма этого
= ∑	∫	f (x)dx = ∑U n ,	x0 = a , так как F (xn ) – частичная сумма этого
n=1 x		n=1
	n−1

ряда.

Все вышесказанное сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 1. Для существования несобственного интеграла

∞

∫ f (x)dx необходимо и достаточно, чтобы ряд

268

∞	xn	f (x)dx , x0 = a , xn > a
∑	∫	f (x)dx , x0 = a , xn > a	(1)
n=1 x
	n−1

сходился к одной и той же сумме при любом выборе бесконечно

большой последовательности		{xn }. Эта сумма	и дает	значение
несобственного интеграла.				f (x)
Замечание.	Если	подынтегральная	функция	f (x)
неотрицательная на [a,+∞), то для существования интеграла				∞
неотрицательная на [a,+∞), то для существования интеграла				∫ f (x)dx

достаточно сходимости ряда (1) при одном частном выборе бесконечно


большой	последовательности			{xn }. Действительно,		в этом	случае
функция	F (x)= ∫x		f (t)dt	монотонно	возрастающая,			а
последовательность		a	F (xn )	ограничена	суммой	ряда	(1)	и,

следовательно, имеет предел.

Поскольку для рядов известны многочисленные признаки сходимости, то иногда удобнее вопрос о сходимости несобственного интеграла свести к вопросу о сходимости ряда.

∞

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл ∫

, α ,

1+ xβsin2x

β > 0.

f (x)

Решение.

Если

–

подынтегральная функция, то

при

πn ≤ x ≤π (n +1) имеем

(πn)α

≤ f (x)≤

(π(n +1))α

(2)

1+ (π(n +1))βsin2x

1+ (πn)βsin2x

Найдем интеграл

= x −πn = t

= ∫

= tg t = u

= π .

∫

π (n+1)

dx = dt

πn

1+ asin2x

1+ a2sin2x

1+ a

Интегрируя неравенство (2) в пределах от πn до

π (n +1)

, получим

π (n+1)

π(π

(nπ)

≤

∫

f (x)dx ≤

(n +1))

(3)

1+ (π(n +1))β

πn

1+ (πn)β

Суммируя неравенства (3) по n от 0 до ∞, получим

269

∞			α		∞	∞		α
πα+1 ∑		n		≤ ∫ f (x)dx ≤πα+1 ∑			(n +1)			.
		n
		1+ (π(n +1))β
n=0		1+ (π(n +1))β			0	n=0	1+ (πn)β
Оба крайних ряда				в	последнем	неравенстве			сходятся или
					∞		∞	1
расходятся	одновременно			с	рядом ∑ nα −12 β = ∑			1		(предельный
расходятся	одновременно			с	рядом ∑ nα −12 β = ∑			1		(предельный
					n=0		n=0 n2 β −α

признак сравнения), который сходится при 12 β −α >1 и расходится при

12 β −α ≤1. При этих же условиях сходится или расходится данный

интеграл.

Теорема 2. Если подынтегральная функция f (x) непрерывная, неотрицательная и монотонно убывающая на [0,∞), то несобственный

∞

f (x)dx

∞

интеграл

∫

ряд

∑ f (n)

одновременно

сходятся

или

n=0

одновременно расходятся.

n ≤ x < n +1.

f (x)

Доказательство.

Пусть

Поскольку

функция

монотонно

убывающая, то

f (n +1)< f (x)≤ f (n).

Интегрируя

эти

неравенства

пределах

от

до

n +1,

получим

f (n +1)< n∫+1

f (x)dx ≤ f (n).

Суммируя

по

n от

0 до

∞, получим

∞

∑ f (n +1)

∑ f (n) ≤ ∫

f (x)dx ≤ ∑ f (n) . Эти неравенства доказывают

n=0

n=1

n=0

теорему.

Теорема 2 носит название интегрального признака Коши

сходимости ряда.

∞

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=3 nlnαn

Решение. Функция

f (x)=

удовлетворяет

требованиям

xlnαx

теоремы 2 на [3,∞). Воспользуемся интегральным признаком Коши.

270

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5027 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf