UML_4256

В пространстве Rn кроме нормы, определяемой формулой (4),

Упражнение. Проверить, что (8), (9) удовлетворяют определению 2. Найдем связь между этими тремя нормами.

Из соотношений (10)-(13) видно, что каждая из трех норм лежит между двумя другими, умноженными на некоторое число.

Введем в линейном (векторном) пространстве Rn скалярное произведение по формуле

Легко проверить, что скалярное произведение (14) удовлетворяет следующим условиям:

3)(x + y, z)= (x, z)+(y, z);

4)(x, x)≥ 0 , (x, x)= 0, Ù x =θ .

Определение 3. Скалярным произведением двух векторов x, y

линейного пространства называют число, удовлетворяющее условиям

(15).

291

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называют евклидовым.

В линейном пространстве C = [a,b] скалярное произведение двух

Условия (16) следуют из свойств интеграла Римана от непрерывной

§ 2. Свойства открытых и замкнутых множеств. Связные и выпуклые множества

В §14 гл.1 и §9 гл.4 были даны понятия открытых и замкнутых множеств и рассмотрены основные свойства множеств. Продолжим изучение этих свойств.

Пусть {Εα} – конечное или бесконечное (может быть несчетное) семейство множеств Eα X . Дополнением множества Eα называют множество Eαc = X \ Eα .

Теорема 1 (принцип двойственности).

Докажем равенство (1); второе доказывается аналогично.

Следовательно, x Iα Εαc . Итак, любой элемент левой части (1) является

элементом правой части (1).

Пусть теперь наоборот x Iα Εαc => x Εα при любом α , поэтому

292

Теорема 2.

а) Сумма (конечная или бесконечная) открытых множеств – множество открытое.

б) Произведение (конечного или бесконечного числа сомножителей) замкнутых множеств – множество замкнутое.

в) Произведение конечного числа открытых множеств – множество открытое.

г) Сумма конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Доказательство.

а) Пусть Ε = Uα Εα и x Ε. Тогда x Εα при некотором значении α и x

– внутренняя точка множества Εα , так как Εα – открыто. а) доказано.

согласно следствию теоремы 1 §9 гл.4. Тогда из а) следует, что F c – открытое множество как сумма открытых множеств, а F – замкнуто в силу теоремы 1 §9 гл.4. б) доказано.

n

в) Пусть Ε = IΕi и Εi – открытые множества. Тогда для любого

i=1

существует двух открытых множеств A и B таких, что

а) A IB =Ǿ;

293

б) A IΕ≠Ǿ, B IΕ≠Ǿ;

в) Ε A UB.

В противном случае множество Ε несвязное.

Если Ε Rn , то можно дать более наглядное эквивалентное 1 определение связного множества.

Пусть x(t) = (x1(t), x2(t),..., xn(t)) , t [a,b] – параметрически заданная непрерывная кривая Жордана в Rn .

Определение 2. Множество Ε Rn называют связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой Жордана, целиком принадлежащей множеству Ε. Открытое связное множество называется областью.

Примером связного множества в R1 является любой отрезок, интервал, полуинтервал конечный или бесконечный.

Примеры в R2 см. на рисунке.

прямая линия Rn , а при t [0,1] – отрезок прямой, то множество точек

выпуклого множества все точки отрезка принадлежат Ε, если крайние точки отрезка принадлежат Ε.

принадлежит шару.

tx′+ (1−t)x′′− x0 = tx′−tx0 + (1−t)x′′+ tx0 − x0 =

= t(x′− x0 ) + (1−t)(x′′− x0 ) ≤ t x′− x0 + (1−t) x′′− x0 <

294

< tδ + (1−t)δ = δ , что и требовалось доказать.

Определение 4. Пусть Ε непустое подмножество метрического

пространства X . Расстоянием от точки x0 X до множества Ε определяют равенством

замыкание Ε = ΕUΕ′.

§ 3. Последовательность в Rn . Эквивалентные нормы.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Ранее (см. §1 гл.2) мы определили сходимость последовательности в метрическом пространстве и рассмотрели свойства пределов.

Если метрическое пространство является линейным, то сходимость по метрике можно заменить на сходимость по норме, так как ρ(x, y)= x − y (см. (7) §1). А поскольку в одном и том же

линейном пространстве можно ввести несколько норм, может оказаться, что одна и та же последовательность сходится по одной норме и расходится по другой. Если из сходимости последовательности по одной из норм следует сходимость по другой и наоборот, то такие нормы называют эквивалентными.

Следствие. Из сходимости последовательности xk = (x1k, xk2,..., xnk ) к точке x0 = (x10, x02,..., x0n) по одной из трех эквивалентных норм следует покоординатная сходимость, то есть сходимость числовых последовательностей xik → xio при k → ∞.

Справедливо и обратное утверждение. Доказательство очевидно. В §7 гл.2 было доказано, что, если последовательность точек метрического пространства сходится, то она фундаментальная и, если числовая последовательность фундаментальная, то она сходится, то

есть была доказана полнота пространства R1 . Докажем, что и

пространство Rn полное.

Теорема 2. Всякая фундаментальная последовательность

пространства Rn ограничена.

Доказательство. Зададим δ > 0 и выберем m таким, чтобы

k =1,2,3,.., m,.... Это означает, что все xk заключены в шаре радиуса r

с центром xm . А это означает ограниченность последовательности xk . Теорема доказана.

Поскольку всякая сходящаяся последовательность фундаментальная, то необходимость доказана.

Пусть xk фундаментальная, то есть xk − xm 0 → 0 при k,m → ∞.

=> sup xik − xim → 0 при k,m → ∞. Получили фундаментальную

i

числовую последовательность. Согласно критерию Коши для числовой последовательности она сходится к xi0 . Тогда согласно следствию

теоремы 1 последовательность xk сходится к x0 . Теорема доказана.

Следствие. Пространство Rn полное.

В §6 гл.2 была доказана теорема Больцано – Вейерштрасса: всякая ограниченная числовая последовательность имеет сходящуюся

подпоследовательность. Обобщим эту теорему на пространство Rn .

Теорема 4 (Больцано–Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {xk}, xk Rn можно выделить сходящуюся

подпоследовательность.

296

Доказательство. Пусть точки xk = (x1k, xk2,..., xkn) образуют

ограниченную последовательность в Rn . Применяя теорему Больцано – Вейерштрасса к ограниченной числовой последовательности

выделим сходящуюся числовую подпоследовательность {x1km } → x10 m → ∞.

Из всех точек числовой последовательности {xk} оставим только те, первая координата которых образует числовую сходящуюся последовательность {x2k j }→ x02 , j → ∞.

Повторяя такое “просеивание” n раз, получим последовательность точек, все координаты которых сходятся соответственно к числам xi0 ,

Замечание 2. Теорему 4 можно сформулировать так: всякое

бесконечное ограниченное множество Ε Rn имеет предельную точку, принадлежащую множеству Ε.

Действительно, выберем из множества Ε счетное множество

отличных друг от друга точек xk . Они образуют ограниченную последовательность. Согласно теореме 4 выделим из нее сходящуюся к

x0 подпоследовательность. Точка x0 – предельная точка множества Ε.

Из теоремы 4 ясно, что x0 Ε.

Замечание 3. Теорема 5 §9 гл.4 справедлива для множества

Ε Rn .

Доказательство с учетом теоремы 4 прежнее.

§ 4. Функция многих переменных. Предел по множеству. Повторные пределы

В этом и последующих параграфах под функцией многих переменных y = f (x), x = (x1, x2 ,..., xn ) будем понимать однозначное

отображение некоторого множества Ε Rn в множество Y R1, то есть f (x1, x2 ,..., xn ) – действительное число.

297

Определение предела (по Гейне и Коши) в предельной точке x0 Rn множества Ε, данное в §2 гл.4, справедливо и для функции многих переменных.

В метрическом пространстве Rn мы ввели три эквивалентные нормы (см. §2), поэтому под пределом функции будем понимать предел

по одной из этих норм. А под окрестностью O(x0 ,δ) точки x0 = (x10, x02,..., x0n) будем понимать множество точек пространства Rn , удовлетворяющих условию ρ(x, x0 )< δ , то есть открытый шар радиуса

определения Ε. Обозначают предел по множеству так: lim f (x) . Если

x→x0 x G

предел существует, то, очевидно, существует и равный ему предел по множеству. Однако, если предел не существует, то предел по множеству может существовать.

Заметим, что иногда предел по множеству вводят и для функции одной переменной.

определению предела по Гейне и определению предела по множеству

существуют и равны 1.

Множество G Ε, по которому берется предел функции многих переменных в точке x0 , может быть некоторой жордановой кривой,

298

299

произвольная последовательность, сходящаяся к точке x0 = (0,0). Тогда xk → 0, yk → 0 при k → ∞. Согласно определению по Гейне имеем

называемые повторные пределы, когда к пределу переходят последовательно сначала по одной переменной, считая все остальные константами, затем по другой и т.д. Считая, что такие пределы существуют, запишем повторные пределы для функции двух переменных:

Пример 5. Найти повторные пределы функций в примерах 2 и 4.

300