UML_4256

градиент функции в точке M (1,1) эллипса. grad z (1,1) = z = (2,6) . В

этой точке он перпендикулярен эллипсу и определяет направление наискорейшего подъема функции (см. §6). Скорость этого подъема

z = 2 10 . Очевидно, в направлении касательной к эллипсу в этой точке функция не изменяется.

Z

M

Y

точек четырехмерного пространства (гиперпараболоид). Пересекая его плоскостью u =1, получим поверхность уровня (эллипсоид, см. рис.)

подъема. Скорость этого подъема z = 76 . В направлениях касательной

плоскости в точке M 1, 32 ,1 функция не изменяется.

§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков. Независимость от порядка дифференцирования

Последние две производные называются смешанными частными производными второго порядка.

Теорема. Если частные производные fx′i′x j и fx′′j xi существуют в

окрестности точки x0 = (x10, x02,..., x0n) и непрерывны в самой точке x0 , то они равны, то есть

Доказательство. Так как при вычислении указанных в теореме производных изменяются только две переменные xi и x j , то ради

Найдем частные приращения:

∆x f (x0, y0) = f (x0 +∆x, y0) − f (x0, y0) ,

∆y f (x0, y0) = f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) ,

∆xy f (x0, y0) = ∆x (∆y f (x0, y0)) = ∆x ( f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0))=

Так как по условию теоремы вторая частная производная непрерывна,

дифференциал функции находят (если он существует) в

квадратичную форму называют симметричной. Будем считать вторые частные производные непрерывными, тогда (8) – симметричная квадратичная форма дифференциала dx независимой переменной.

Формулу (8) для второго дифференциала удобнее переписать в символической (операторной) форме следующим образом:

§ 12. Продолжение функции. Частная производная на границе области. Равномерная сходимость по параметру

Пусть функция f (x) n переменных определена и непрерывна на незамкнутом множестве Ε Rn . Если ее можно доопределить во всех точках множества Ε \ Ε таким образом, что полученная функция будет

непрерывной на замыкании Ε, то эту доопределенную функцию называют непрерывным продолжением функции f (x) . Эту новую

функцию обычно обозначают тем же символом f . Продолженную

функцию называют также расширением данной, а данную функцию по отношению к расширенной называют сужением (см. §4).

Теорема 1. Если функция f (x) равномерно непрерывна на незамкнутом множестве Ε, то ее можно продолжить на Ε \ Ε

единственным образом так, что продолжение будет непрерывной на Ε (без доказательства).

Продолжением пользуются, например, в том случае, когда в

частные производные, то, пользуясь теоремой 1, их можно продолжить по непрерывности на границу круга. В этом случае их называют обобщенными. Однако, если функция имеет в некоторой точке границы обычную одностороннюю частную производную, то она совпадает с обобщенной.

Действительно, пусть в нашем случае функция f (x, y) имеет в

(Воспользовались теоремой Лагранжа). В правой части (1) стоит обобщенная производная, а в левой – обычная левая, и они равны.

326

будет сходиться или расходиться. Множество G Χ всех значений x , при которых последовательность (2) сходится, называют областью сходимости функциональной последовательности (2). Таким образом, на множестве G задается функция ϕ(x) , к которой сходится

функциональная последовательность (2), то есть

равномерно сходящейся к функции ϕ(x) на множестве G. В этом случае

327

Вернемся теперь к общему случаю. Пусть y0 – предельная точка

множества Υ (возможна бесконечно удаленная). Если существует предел

называется равномерно сходящейся к функции ϕ(x) на множестве Υ.

равномерная, то существуют равные между собой повторные пределы:

Доказательство. Пусть, например, сходимость (6) равномерная. Тогда согласно определению равномерной сходимости

Переходя к пределу при x → x0 из последнего неравенства получим с учетом (7):

Согласно критерию Коши (10) означает существование предела функцииψ ( y) в точке y0 , то есть

Тогда имеем

ϕ(x) − A = (ϕ(x) − f (x, y1)) + ( f (x, y1) −ψ ( y1)) + (ψ ( y1) − A) ≤

Сравнивая (13) и (11) видим, что (8) выполняется, и теорема доказана.

§ 13. Экстремум. Необходимые условия

Пусть скалярная функция f (x) определена на множестве Ε Rn . Точка x0 Ε называется точкой максимума функции f (x) , если существует δ – окрестность O(x0 ,δ) такая, что

329

f (x0 ) ≥ f (x) для

функция достигает в точке x0 строгого максимума или минимума. Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.

Замечание 1. Условия (1) и (2) удобнее записать через

экстремума в точке x0 , то функция ϕ(xi) достигает экстремума в точке

поскольку градиент является полной производной функции n переменных, то необходимое условие существования экстремума можно записать в той же форме, что и для функции одной переменной: f '(x0 ) = 0 , где f '(x0 ) = grad f (x0 ) .

Следствие 2. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то необходимое условие экстремума можно записать в виде df (x0 ) = 0 .

Замечание 2. Поскольку функция f (x) может достигать

экстремума в точках, в которых не существует полной производной, то возможные точки экстремума следует искать среди точек, в которых f '(x) обращается в нуль или не существует.

330