UML_4256

пределы функции примера 2 существуют и равны нулю. Хотя предел функции не существует.

предел существует, а один из повторных пределов не существует. Связь

данной функции f на единичный открытый шар.

сужение функции на Ε имеет предел в этой точке, если x0 – предельная для Ε. Это следует из определения предела и сужения функции.

Введенный выше предел функции по множеству, есть не что иное, как предел сужения функции на это множество.

Замечание. Мы определили функцию n переменных как однозначное отображение некоторого подмножества пространства Rn в числовое подмножество R1 . При этом под Rn понимали множество упорядоченных энок действительных чисел (x1, x2,..., xn ), xi R1. Из

предыдущего параграфа ясно, что Rn – это полное, линейное, евклидово n -мерное пространство, метризованное с помощью нормы Евклида.

301

Понятие функции n переменных можно обобщить следующим

(точками) полученного пространства Χ будут упорядоченные энки x = (x1, x2,..., xn) , xi Χi .

Однозначное отображение в R1 некоторого подмножества Ε X назовем функцией n переменных. Если множество Χ будет обладать

всеми свойствами пространства Rn , то эти два определения эквивалентны.

§ 5. Свойства непрерывной функции многих переменных

Ранее (см. §7 гл.4) было введено понятие непрерывности функции в точке и на метрическом множестве. Рассмотрены основные свойства непрерывной функции (см. §8 гл.4). В частности доказано, что если f (x) и g (x) непрерывны, то непрерывны:

а) f (x)± g (x); б) f (x) g (x);

в) gf ((xx)), g (x)≠ 0 ;

г) сложная функция g( f (x)) и f (g (x)) .

Рассмотрены также свойства функций, непрерывных на компактном метрическом множестве (см. §10 гл.4). Доказано, что функция, непрерывная на компактном множестве, равномерно непрерывна на нем, ограничена и достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. А функция, непрерывная на компактном и связном множестве, удовлетворяет теореме Коши (см. §11 гл.4). Эти утверждения доказаны для функции одного переменного, но с учетом сведений §4 эти доказательства справедливы практически без изменений и для функции n переменных. Заметим только, что область

определения функции многих переменных Ε Rn – множество неупорядоченное, если n ≥ 2. Поэтому понятие монотонности для функции многих переменных не вводят. Точки разрыва функции многих переменных не разделяют на точки разрыва первого и второго рода. Для функции n переменных точки разрыва могут образовывать

302

линию, поверхность или пространство разрывов, размерности меньшей n .

Теоремы о непрерывности взаимно-однозначного отображения доказаны в общем случае (см. §11 гл.4). Отметим только, что для функций n переменных t = f (x) обратная функция, если она

существует, не является функцией многих переменных, то есть не

x = (x1, x2,..., xn) . Очевидно, эта функция непрерывная в каждой точке

произведение непрерывных функций, функция f (x) = ∑ aα xν11xν22...xνnn –

α≤n

непрерывна как сумма непрерывных функций. Здесь ν i – целые неотрицательные числа, α =ν1 +ν 2 +... +ν n . Эту функцию называют многочленом n -й степени. Отношение двух многочленов называют рациональной функцией. Она непрерывна всюду в Rn , где не обращается в нуль знаменатель.

303

Функцию n переменных называют элементарной функцией аргумента x = (x1, x2,..., xn) , если она может быть получена из

переменных xi и констант при помощи конечного числа операций

сложения, умножения, деления и взятия элементарных функций одного переменного. Очевидно, элементарная функция непрерывна в своей области определения.

на всей плоскости, исключая начало координат.

неэлементарная, непрерывна на всей плоскости, так как

lim f (x, y) = f (0,0) = 0 . См. пример 3 §4.

x→0 y→0

Заметим, что всякое сужение непрерывной функции является функцией непрерывной. Однако, если функция не является непрерывной в некоторых точках, то сужение может быть непрерывным.

Эта функция непрерывная на всей плоскости, исключая начало координат (см. пример 2 §4). Сужение этой функции на любую прямую y = kx является функцией всюду непрерывной.

§ 6. Производная по направлению. Частные производные. Градиент

n

Пустьω = (ω1,ω2,...,ωn) = ∑ωiei – произвольный единичный

i=1

y = f (x) отображает некоторое открытое множество Ε Rn в числовое

функция одного скалярного аргумента t . Если эта функция имеет

параметра t будет меняться только координата xi вектора x , так как

xi . Его называют частным приращением функции.

Определение (2) частной производной ничем не отличается от определения обычной производной от функции одной переменной. Поэтому частную производную по переменной xi (если она существует)

можно брать по обычным правилам, считая все другие переменные константами.

305

точке x (то есть производные по направлениям векторов ei

то есть производная по направлению единичного вектора ω равна скалярному произведению градиента и этого вектора.

Формулу (4) мы докажем позже, а сейчас дадим геометрическую интерпретацию частной производной и градиента.

Производную функции одной переменной мы интерпретировали как скорость изменения функции, а с геометрической точки зрения как тангенс угла наклона касательной к оси x .

Из определения (1) видно, что производная по направлению вектора ω – это скорость изменения функции f (x) = f (x1, x2,..., xn) в

направлении базисного вектора ei . Наглядность возможна только для

f (x0) принимает наибольшее значение, равное grad f (x0) (так как cosϕ = 0 ), а в противоположном направлении – наименьшее значение, равное grad f (x0 ) . Эти направления называются направлениями быстрейшего подъема и быстрейшего спуска функции f (x) в точке

x= x0 .

2)По направлениям, ортогональным вектору f (x0 ) , производная

функции в точке x0 равна нулю.

3) Градиент функции в точке x0 – это вектор, направленный из точки x0 в сторону наибыстрейшего возрастания функции, длина этого вектора равна производной функции в точке x0 по этому направлению.

§ 7. Дифференцируемость числовой и векторной функции n переменных

Если из приращения функции можно выделить линейную относительно приращения аргумента часть, то такую функцию y = f (x)

одной переменной называют дифференцируемой (см. §3 гл.5):

Dh = f '(x0 )h = f '(x0)dx – дифференциал функции в точке x0 . 307

можно записать в любой из следующих форм:

Здесь (D, dx) – скалярное произведение векторов D и dx .

Распространим теперь понятие дифференцируемости на векторную функцию n переменных, ее еще называют векторной функцией векторного аргумента. Но предварительно напомним, что

действует из пространства Χ в пространство Υ. Определение непрерывности линейного оператора совпадает с общим определением непрерывности функции (см. §7 гл.4).

некоторый вектор пространства Rm . Разложив его по базису {ek '}mk =1 , получим

m

Aei = yi = ∑ akiek '. (7)

k =1

309

Матрицу из коэффициентов разложения (7) называют матрицей

функция векторного аргумента y = f (x) отображает это множество в

вектор x (аргумент) и вектор y (функцию) по этим базисам, векторную

функцию векторного аргумента представим в виде совокупности m числовых функций n переменных

Определение 2. Пусть y = f (x) – векторная функция векторного аргумента, отображающая открытое множество Ε Rn в пространство Rm . Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x0 Ε, если

существует линейный непрерывный оператор D , действующий из Rn в Rm такой, что из полного приращения функции при переходе из точки

Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом в

Функция, дифференцируемая в каждой точке множества Ε, называется дифференцируемой на множестве Ε.

Замечание. Из (9) следует, что функция непрерывна.

Теорема (о единственности дифференциала). Линейный непрерывный оператор D определяется равенством (9) однозначно.

Доказательство. От противного.

Пусть линейная часть приращения функции может быть