UML_4256
.pdf№ 4256
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»
(2006-2007 гг.)
Конспект лекций по математическому анализу
Таганрог 2008
1
УДК 517/517.9 (075.8)
Рецензенты:
В.Н. Зуев, кандидат технических наук, профессор кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ.
И.В. Маринова, кандидат физ.-мат. наук, доцент математики и информатики ТИУ.
Н.Е. Ляхова, кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа ТГПИ.
Фирсов И.П. Конспект лекций по математическому анализу. – Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2008. – 500с.
Конспект лекций по математическому анализу рекомендуется в качестве учебного пособия для студентов первого и второго курсов ТТИ ЮФУ специальности «Прикладная математика» и студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен этот курс.
Пособие содержит следующие разделы математического анализа: элементы теории множеств и математической логики; последовательности; ряды; предел и непрерывность функций одной и многих переменных; неопределенный интеграл и интегралы Римана и Стилтьеса; интегралы, зависящие от параметра; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; понятия метрического, нормированного и гильбертова пространств; ряды и интеграл Фурье. Пособие содержит многочисленные примеры.
Ил.: 112. Библиогр.: 7 назв. Табл.: 6.
©Таганрогский технологический институт ЮФУ, 2008
©И.П. Фирсов, 2008
2
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ............................................................................................. |
3 |
I. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ |
9 |
МНОЖЕСТВ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА............................................... |
|
§1. Элементы математической логики ............................................... |
9 |
§2. Понятие множества...................................................................... |
12 |
§3. Операции над множествами........................................................ |
13 |
§4. Свойства операций над множествами........................................ |
16 |
§5. Основные множества действительных чисел............................ |
17 |
§6. Основные свойства действительных чисел................................ |
19 |
§7. Верхние и нижние грани числовых множеств........................... |
21 |
§8. Свойство непрерывности действительных чисел...................... |
24 |
§9. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи |
26 |
комплексного числа............................................................................ |
|
§10. Тригонометрическая и показательная формы записи |
30 |
комплексного числа............................................................................ |
|
§11. Логарифм комплексного числа. Возведение в степень. |
33 |
Извлечение корня............................................................................... |
|
§12. Понятие о гиперкомплексных числах ...................................... |
35 |
§13. Мощность множества. Кардинальные числа........................... |
37 |
§14. Метрическое пространство........................................................ |
40 |
II. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.................................................................. |
45 |
§1. Сходящиеся последовательности в метрическом |
45 |
пространстве. Свойства ..................................................................... |
|
§2. Сходящаяся последовательность комплексных чисел. |
48 |
Свойства.............................................................................................. |
|
§3. Сходящиеся последовательности действительных чисел. |
54 |
Свойства.............................................................................................. |
|
§4. Примеры сходящихся числовых последовательностей............ |
56 |
§5. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса ............ |
60 |
§6. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы |
61 |
последовательности............................................................................ |
|
§7. Фундаментальные последовательности..................................... |
64 |
III. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ............................................................................... |
68 |
§1. Понятие ряда. Свойства сходящихся рядов с комплексными |
68 |
членами................................................................................................ |
|
§2. Критерий Коши сходимости ряда............................................... |
73 |
§3. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.... |
74 |
§4. Признаки сходимости Коши и Даламбера................................. |
78 |
§5. Признак сходимости Куммера .................................................... |
82 |
§6. Абсолютная и условная сходимости ряда.................................. |
85 |
§7. Признак сходимости Лейбница................................................... |
88 |
§8. Признак сходимости Дирихле-Абеля......................................... |
90 |
3 |
|
§9. Степенные ряды............................................................................ |
92 |
§10. Свойство коммутативности абсолютно и условно |
94 |
сходящихся рядов............................................................................... |
|
§11. Умножение рядов. Деление степенных рядов. Двойные и |
98 |
повторные ряды.................................................................................. |
|
§12. Понятие о линейных и регулярных методах суммирования |
103 |
расходящихся рядов......................................................................... |
|
IV. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ................................... |
107 |
§1. Понятие функции. Основные элементарные функции ........... |
107 |
§2. Предел функции по Гейне и Коши в точке метрического |
111 |
пространства..................................................................................... |
|
§3. Свойства пределов...................................................................... |
115 |
§4. Замечательные пределы............................................................. |
116 |
§5. Предел монотонной функции.................................................... |
119 |
§6. Сравнение функций. Асимптоты. Асимптотические ряды .... |
121 |
§7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва...... |
126 |
§8. Свойства функций, непрерывных на метрическом |
131 |
пространстве..................................................................................... |
|
§9. Понятие компактного множества ............................................. |
133 |
§10. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве. |
|
Равномерная непрерывность........................................................... |
137 |
§11. Теорема Коши. Непрерывность обратной функции.............. |
141 |
§12. Непрерывность элементарных функций ................................ |
144 |
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ |
147 |
ПЕРЕМЕННОЙ.................................................................................... |
|
§1. Понятие производной функции................................................. |
147 |
§2. Геометрический и физический смысл производной............... |
151 |
§3. Дифференцируемость функции. Дифференциал..................... |
155 |
§4. Правила вычисления производной и дифференциала............. |
157 |
§5. Производная обратной и сложной функций. Таблица |
159 |
производных ..................................................................................... |
|
§6. Производная высшего порядка. Формула Лейбница.............. |
163 |
§7. Производные высших порядков от сложной, неявной и |
165 |
параметрически заданной функций................................................ |
|
§8. Инвариантность формы первого дифференциала. |
168 |
Дифференциалы высших порядков ................................................ |
|
VI. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ....... |
170 |
§1. Возрастание функции в точке. Теорема Ферма....................... |
170 |
§2. Теоремы о среднем..................................................................... |
171 |
§3. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Дарбу174 |
|
§4. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей ................. |
176 |
§5. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона............... |
179 |
§6. Формула Тейлора для функции................................................. |
180 |
§7. Примеры разложений по формуле Тейлора. Ряд Тейлора...... |
183 |
4 |
|
§8. Исследование поведения функции. Интервалы |
187 |
монотонности, точки экстремума................................................... |
|
§9. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.............................. |
190 |
§10. План исследования функции и построение графика............. |
193 |
§11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные |
194 |
понятия.............................................................................................. |
|
§12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой......... |
197 |
§13.Кривизна и кручение кривой.................................................... |
202 |
VII. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.................................................. |
208 |
§1. Первообразная и неопределённый интеграл. |
208 |
Таблица интегралов.......................................................................... |
|
§2. Основные методы интегрирования........................................... |
213 |
§3. Алгебраический многочлен. Действия над |
217 |
многочленами. Теорема Безу........................................................... |
|
§4. Рациональная дробь. Разложение рациональной дроби. ........ |
219 |
§5. Корни многочлена. Теорема Виета. Разложение многочлена |
221 |
на неприводимые сомножители. ..................................................... |
|
§6. Разложение рациональной дроби на простейшие.................... |
224 |
§7. Интегрирование рациональной дроби. ..................................... |
226 |
§8. Интегрирование некоторых иррациональностей. |
228 |
Подстановки Эйлера. Дифференциальный бином. ....................... |
|
§9. Интегрирование тригонометрических выражений. |
233 |
Неберущиеся интегралы. ................................................................. |
|
VIII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ...................................................... |
238 |
§1. Понятия интегралов Римана и Стилтьеса. Суммы Дарбу....... |
238 |
§2. Существование интеграла Стилтьеса. Необходимые и |
241 |
достаточные условия........................................................................ |
|
§3. Интеграл Стилтьеса как предел интегральной суммы............ |
245 |
§4. Свойства интеграла Стилтьеса.……… ..................................... |
248 |
§5. Вычисление интегралов Римана и Стилтьеса. Формула |
|
Ньютона-Лейбница.………..............................................................249 |
|
§6. Теоремы о среднем..……… ....................................................... |
253 |
§7. Методы вычисления интеграла Римана. Замена переменных. |
|
Интегрирование по частям..……… ................................................ |
255 |
§8. Функция с ограниченной вариацией. Обобщение интеграла |
|
Стилтьеса.………..............................................................................257 |
|
§9. Несобственный интеграл первого рода. Критерий Коши. |
260 |
Признаки сравнения.……… ............................................................ |
|
§10. Условная сходимость несобственного интеграла. |
264 |
Признак Абеля-Дирихле..……… .................................................... |
|
§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак |
|
Коши сходимости ряда..……….......................................................267 |
|
§12. Несобственный интеграл второго рода..……… .................... |
271 |
§13. Главное и обобщенное значения несобственного |
|
5 |
|
интеграла..……… ............................................................................. |
273 |
§14. Понятие меры множества. Мера Жордана..……… ............... |
276 |
§15. Приложения определенного интеграла..……… .................... |
280 |
§16. Нулевые меры Жордана и Лебега. Теорема Лебега..……… 285 IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.................................................................................... |
289 |
§1. Понятия линейного, нормированного и евклидова |
289 |
пространств....................................................................................... |
|
§2. Свойства открытых и замкнутых множеств. Связные и |
292 |
выпуклые множества........................................................................ |
|
§3. Последовательность в Rn . Эквивалентные нормы. Теорема |
295 |
Больцано-Вейерштрасса. ................................................................. |
|
§4. Функция многих переменных. Предел по множеству. |
297 |
Повторные пределы.......................................................................... |
|
§5. Свойства непрерывной функции многих переменных. .......... |
302 |
§6. Производная по направлению. Частные производные. |
304 |
Градиент. ........................................................................................... |
|
§7. Дифференцируемость числовой и векторной функции n |
307 |
переменных. ...................................................................................... |
|
§8. Свойства дифференцируемых функций. .................................. |
313 |
§9. Касательная плоскость. Поверхность уровня.. ........................ |
318 |
§10. Производные и дифференциалы высших порядков. |
321 |
Независимость от порядка дифференцирования........................... |
|
§11. Формула Тейлора...................................................................... |
324 |
§12. Продолжение функции. Частная производная на границе |
326 |
области. Равномерная сходимость по параметру.. ........................ |
|
§13. Экстремум. Необходимые условия......................................... |
329 |
§14. Достаточные условия экстремума.. ........................................ |
331 |
§15. Свойства выпуклой функции многих переменных. .............. |
336 |
§16. Норма линейного оператора.................................................... |
338 |
§17. Обратимость линейного оператора......................................... |
342 |
§18. Обратимость отображения. Производная обратной |
344 |
функции............................................................................................. |
|
§19. Неявная функция. Дифференцирование неявной функции.. |
349 |
§20. Условный экстремум функции многих переменных............. |
356 |
X. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ............................. |
361 |
§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.................. |
361 |
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.............. |
366 |
§3. Свойства несобственного интеграла, зависящего от |
369 |
параметра. ......................................................................................... |
|
§4. Интегралы Эйлера. Гамма-функция. ........................................ |
376 |
§5. Бета-функция. Применение интегралов Эйлера. ..................... |
378 |
§6. Интеграл и производная дробного порядка. ............................ |
381 |
XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................... |
384 |
6 |
|
§1. Измеримые множества............................................................... |
384 |
§2. Понятие кратного интеграла на брусе. ..................................... |
386 |
§3. Кратный интеграл на произвольном множестве |
|
пространства Rn . Свойства кратного интеграла. .......................... |
389 |
§4. Сведение двойного интеграла к повторному.. ......................... |
392 |
§5. Сведение кратного интеграла к повторному (общий |
396 |
случай). Теорема Фубини. ............................................................... |
|
§6. Геометрический смысл якобиана отображения....................... |
401 |
§7. Замена переменных в n -мерном интеграле.. ........................... |
403 |
§8. Криволинейные координаты. .................................................... |
405 |
§9. Кратные несобственные интегралы.......................................... |
411 |
XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
416 |
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. ......................................................... |
|
§1. Криволинейный интеграл первого рода. .................................. |
416 |
§2. Криволинейный интеграл второго рода. .................................. |
418 |
§3. Понятие поверхности. Локально-гомеоморфное |
421 |
отображение...................................................................................... |
|
§4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, |
426 |
заданной параметрически.. .............................................................. |
|
§5. Ориентированная поверхность. Площадь поверхности.......... |
429 |
§6. Поверхностный интеграл первого рода.................................... |
433 |
§7. Поверхностный интеграл второго рода.................................... |
435 |
§8. Понятие скалярного и векторного поля. Основные |
439 |
характеристики поля. ....................................................................... |
|
§9. Повторные операции. Выражения основных операций поля |
441 |
в криволинейных координатах........................................................ |
|
§10. Формула Грина. ........................................................................ |
443 |
§11. Формула Стокса. Инвариантное определение ротора........... |
445 |
§12. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное |
448 |
определение дивергенции................................................................ |
|
§13. Потенциальное поле................................................................. |
450 |
§14. Соленоидальное поле. .............................................................. |
453 |
XIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. |
457 |
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ........................................................ |
|
§1. Поточечная и равномерная сходимости функционального |
457 |
ряда. Сходимость в среднем............................................................ |
|
§2. Признаки равномерной сходимости ряда................................. |
461 |
§3. Свойства рядов, сходящихся равномерно. ............................... |
464 |
§4. Равномерное приближение непрерывной функции |
469 |
многочленами.. ................................................................................. |
|
§5. Пространство I2 . Обобщение n -мерного евклидова |
472 |
пространства. .................................................................................... |
|
§6. Пространства Евклида и Гильберта. Базис. ............................. |
474 |
§7. Примеры ортонормированных систем.. ................................... |
476 |
7 |
|
§8. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля......... |
479 |
§9. Полнота тригонометрической системы функций.................... |
482 |
§10. Классический ряд Фурье. Комплексная форма записи......... |
484 |
§11. Поточечная и равномерная сходимость классического ряда |
|
Фурье. Скорость сходимости. ......................................................... |
488 |
§12. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. .............................. |
491 |
§13. Интеграл Фурье в действительной форме. Косинус-и |
|
синус-преобразования Фурье. ......................................................... |
496 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................... |
499 |
8
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§1. Элементы математической логики
Логику определяют как анализ методов рассуждения. Если при этом применяется математический аппарат, и анализируются в первую очередь математические рассуждения, то и логику называют математической.
Если в математике чаще всего рассматривают числовые множества, то в математической логике – множества высказываний. Под высказыванием понимают предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Пример 1.
1)5 – простое число;
2)5 больше 12;
3)завтра будет хорошая погода;
4)давайте сделаем перерыв.
Очевидно, предложения 1 – 3 – высказывания, причем первое истинное, второе ложное, третье может быть истинное, а может быть и ложное, четвертое не является высказыванием.
Высказывания обозначают большими буквами латинского алфавита. Истинному высказыванию присваивают единицу, ложному нуль. Запись A = 0 , B =1 означает, что высказывание А ложно, а высказывание В истинно.
С помощью логических связок, в качестве которых выступают союзы «и» и «или», отрицание «не», слова «если …, то …», «тогда и только тогда, когда …», из высказываний образуют другие высказывания, их называют сложными высказываниями.
Этим логическим связкам соответствуют логические операции, которые имеют специальные обозначения.
Отрицание обозначают |
|
A |
. Читают «не А». Эта логическая |
||||
операция задается таблицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
A |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
Союзу «и» соответствует логическая операция, которая называется конъюнкцией высказываний А и В, и обозначается A B (или А*В). Читают «А и В».
9
Союзу «или» соответствует логическая операция, которая называется дизъюнкцией высказываний А и В, и обозначается A B. Читается «А или В».
Словам «если …, то … » отвечает операция импликации. Обозначается А→В. Читается «А имплицирует В».
Словам «тогда и только тогда, когда … » отвечает логическая операция эквивалентность высказываний А и В. Обозначается A~B. Читается «А эквивалентно В».
Все эти операции задаются таблицами, которые мы сведем в одну:
А |
В |
A B |
A B |
А→В |
А~В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Множество высказываний, над которыми производятся логические операции, называется алгеброй высказываний. Сложные высказывания называются логическими формулами. Порядок выполнения логических операций в формулах определяется скобками. Однако в целях упрощения записи некоторые скобки опускают. При этом сначала выполняют операции отрицания и конъюнкции, затем дизъюнкции, затем импликации и эквивалентности.
Пример 2. Составить таблицу истинности для сложных высказываний
C = ((A ~ B)→(A B)) =(A ~ B)→ A B ;
C′ = (A~(B → (A B) = A ~(B → A B).
Пользуясь таблицей, определяющей логические операции, составим следующую таблицу истинности:
A |
B |
|
|
|
|
|
B |
A ~ B |
C |
B → |
|
B |
C′ |
|
A |
|
|
A |
A |
||||||||
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
||||
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
||||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
||||
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
||||
Особую роль играют логические формулы, которые независимо от истинности или ложности входящих в их состав высказываний всегда истинны. Их называют тавтологиями. Тавтологии выражают законы
10