UML_4256

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

среднюю часть, то есть интервал

среднюю часть, то есть интервал

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

две имеют конечные площади, а третья имеет бесконечно большую площадь.

Найдем теперь площадь криволинейного сектора, то есть плоской

фигуры, ограниченной лучами ϕ =α , ϕ = β и кривой ρ = ρ(ϕ)

( ρ,ϕ –

полярные координаты точки, см. §2 гл. 1).

{ i}

[

, β

]

отрезка

Так как ϕ α

, то возьмем некоторое разбиение τ = ϕ

i=1

[α, β] и составим суммы Дарбу для функции f (ϕ)

ρ2 (ϕ).

= inf f (ϕ),

sn (τ, f )=

1 ∑

mi2 ∆ϕi

, Sn (τ, f )=

1 ∑ M i2 ∆ϕi .

Здесь mi

2 i=1

∆ϕ

M i = sup f

(ϕ). Известно (см. §2), что

∆ϕi

(τ, f

)≤ β

ρ2 (ϕ)dϕ ≤ S

(τ, f ).

(2)

∫

Из школьного

курса

математики

известно, что

R2∆ϕ – площадь

sn (τ, f ) и

кругового сектора, радиус которого R , а угол ∆ϕ . Тогда

Sn (τ, f )

–

суммарные

площади круговых

секторов,

целиком

принадлежащих криволинейному сектору, и имеющих с ним хотя бы одну общую точку.

Пусть E – множество точек криволинейного сектора, G – множество точек всех круговых секторов, принадлежащих криволинейному сектору, а F – множество точек всех круговых секторов, имеющих хотя бы одну общую точку с криволинейным

сектором. Тогда,	очевидно, G E F => mesG ≤ mes E ≤ mes F
(монотонность	меры)	или	sn (τ, f )≤ mes E ≤ Sn (τ, f ).	=>

−Sn (τ, f )≤ −mes E ≤ −sn (τ, f ). Складывая последнее неравенство с (2), получим

281

s		− S		≤	β	1	ρ2 (ϕ)dϕ − mes E ≤ S		−s .	(3)
	n		n		∫			n
						2			n
					α

Если интеграл β∫

ρ2

(ϕ)dϕ существует, то sn → Sn

и из (3) следует, что

площадь криволинейного сектора определяется формулой

mes E = S = β∫

ρ2 (ϕ)dϕ .

(4)

Пример 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной

кардиоидой ρ = a(1+ cosϕ).

Решение. Воспользуемся (4). В силу четности

кардиоиды имеем

S = a2

∫(1+ cosϕ)2dϕ = a2

X π

(1+ cos 2ϕ))dϕ =

πa2 .

∫(1+ 2cosϕ +

б) Объем тела вращения.

Если кривая y = f (x), x [a,b],

f (x)≥ 0 вращается вокруг оси x ,

то объем тела вращения (см. рис.)

определяется формулой

V = mes E = πb∫

f 2 (x)dx .

(5)

Схема доказательства формулы (5)

аналогична

доказательству

формулы (4).

Пусть τ ={xi}in=1

некоторое

разбиение отрезка [a,b].

Составим

интегральные суммы

sn (τ, g )=π ∑mi2∆xi ,

i=1

Mi = sup g(x) . Заметим,

∆xi

Дарбу для функции	g (x)=π f 2 (x).
n	mi = inf g(x),
Sn (τ, g )=π ∑M i2∆xi . Здесь	mi = inf g(x),
i=1	∆xi

что π mi2∆xi – это объем кругового цилиндра

282

радиуса mi и высотой ∆xi . Поэтому sn (τ, g ) и Sn (τ, g ) – это объемы всех круговых цилиндров, целиком принадлежащих телу вращения и имеющих хотя бы одну общую точку с ним.

Повторяя все выкладки, которые выполняли при выводе формулы (4), получим формулу (5).

Понятие объема тела вращения обобщается на случай, когда интеграл (5) несобственный.

Пример 3. Кривая y =	1	sin	1	,	x ≥	1	вращается вокруг оси	x .
			x			π
Найти объем тела вращения.	x

Решение. Воспользуемся формулой (5):

∞

π 2

V = π ∫

sin2

dx =

∫

(1 − cos

)dx =

( −

∫ d(sin

)) =

в) Длина дуги гладкой кривой.

В §12 гл. 6 введено понятие кривой Жордана в R3 и понятие длины (меры) этой кривой. Из определения длины кривой, заданной параметрически векторным представлением r = r (t ), t [a,b], следует,

что эту длину можно вычислить по формуле

b
S = ∫ x′2 + y′2 + z′2 dt ,	(6)

если функция r (t ) непрерывно дифференцируемая на отрезке [a,b].

Пример 4.	Найти длину дуги астроиды x = acos3 t , y = asin3 t ,
t [0,2π ].
Решение.	Воспользуемся формулой (6). В силу симметрии
Y	Воспользуемся формулой (6). В силу симметрии
a	кривой имеем

	π	π	π
0	a X S = 4 2∫	x′2 + y′2 dt =12a 2∫ sin t costdt = 6asin2 t	2
	0	0	0
	0	0

= 6a

Если	плоская	кривая задана	уравнением
y = f (x),	x [a,b],	то принимая x за параметр t , из
(6) получим	b
	b
S = ∫ 1+ f ′2		(x)dx.	(7)

283

Если плоская кривая задана в полярной системе координат ρ = ρ(ϕ),
[		]	, то принимая ϕ	за параметр, запишем x = ρ	(	ϕ	)	cosϕ,
ϕ α, β			, то принимая ϕ	за параметр, запишем x = ρ		ϕ		cosϕ,
y = ρ(ϕ)sinϕ , xϕ′ = ρ′cosϕ − ρsinϕ, yϕ′ = ρ′sinϕ + ρcosϕ. Подставляя
xϕ′ и yϕ′	в (6), получим
				β
				S = ∫ ρ2(ϕ) + ρ′2 (ϕ)dϕ .				(8)
				α

г) Площадь поверхности тела вращения.				y = f (x),	x [a,b]
Y		Пусть	кривая			вращается
		вокруг оси x .		Найдем площадь поверхности
	Yi	тела	вращения. Пусть		τ ={xi}in=1	некоторое
		разбиение отрезка [a,b]. Каждой точке xi этого

a	Xi b	X разбиения соответствует			точка (xi , f (xi )) на
кривой	f (x). Таким образом, всякому разбиению отрезка будет
соответствовать ломаная линия, вписанная в кривую f (x)						(см. рис.).

При вращении кривой каждое звено ломаной линии образует усеченный

конус (или цилиндр). Площадь боковой поверхности усеченного конуса
определяется формулой	π( yi−1 + yi )∆si ,	где yi	= f (xi )	–	радиус
основания конуса, а ∆si	– образующая	конуса	(длина	i -го	звена

ломаной). Суммируя эти площади боковых поверхностей всех конусов, получим

n
σ n = π ∑( f (xi−1) + f (xi))∆si	(9)
i=1

Сумма (9) является интегральной суммой Стилтьеса (см. §3) для функций f (x) и s(x) ( s(x) – переменная длина кривой f (x)).

Поэтому интеграл Стилтьеса (если он существует) назовем площадью поверхности тела вращения

def	b	+ f (x + 0))ds .	(10)
σ =	π ∫( f (x −0)
	a		s(x) –
Если f (x) – функция непрерывно		дифференцируема, то и

функция непрерывно дифференцируемая (см. §12, гл. 6). В этом случае ds = 1+ f ′2 (x)dx и интеграл Стилтьеса (9) сведется к интегралу Римана

284

def	2π		b	f (x)		1+ f ′2 (x)dx .	(11)
σ =			∫
			a		y2
Пример 5. Эллипс		x2		+		=1 вращается вокруг оси	x . Найти

	9			4

площадь поверхности эллипсоида вращения.

Решение. Воспользуемся формулой (11). Из уравнения эллипса

				2				2	=> y		′				2				x
найдем y = 3						9 − x					′	= − 3					9 − x2				. Тогда
найдем y = 3						9 − x						= − 3					9 − x2				. Тогда
	=	4	3		− x2		1 81−5x2						dx				4			3	81−5x			2 dx =	8		3					−5x2 dx =
σ			π ∫ 9													=			π	∫						π	∫ 81
σ		3	π ∫ 9				3 9			− x2						=	9		π	∫					9	π	∫ 81
		3	−3				3 9			− x2							9			−3					9		0
=	4	π	5(x		81	− x2		+	81	arcsin				x		5		)	3	= 4π(2 + 9				5 arcsin			5				) .
=	9	π	5(x		5	− x2		+	5	arcsin				9				)	0	= 4π(2 + 9				5 arcsin				3			) .
	9				5				5					9					0									3
(Воспользовались формулой ∫ a2 − x2dx =																						1	x	a2 − x2 +					1	a2 arcsin			x	) .
(Воспользовались формулой ∫ a2 − x2dx =																							x	a2 − x2 +			2			a2 arcsin				) .
																					2						2						a

§ 16. Нулевые меры Жордана и Лебега. Теорема Лебега

Из примера 2 §14 следует, что можно дать другое эквивалентное определение нулевой меры Жордана.

Определение 1. Множество E R2 имеет нулевую меру Жордана, если существует конечное покрытие множества E

прямоугольниками πi такое, что ∑mes(π i) ≤ ε для ε > 0 .

i=1

Это определение можно обобщить на любое множество E Rn . Если E R1 , то покрытие состоит из интервалов, если E Rn , – то из открытых брусов πi .

Найти меру Жордана счетного множества E

Пример 1.

n N .

Решение. Множество E имеет одну предельную

точку

x = 0.

Покроем все точки множества E ,

лежащие в окрестности предельной

точки x = 0, интервалом

(0,

) ,

k – фиксировано.

Каждую

из

k −1

остальных точек

, …,

, 1 покроем интервалами, длина

k −1

k − 2

285

которых одинаковая и равна

Общая длина этого конечного

(k −1)2

покрытия Lk =

(k −1) =

. Очевидно, если выбрать

k −1

(k −1)2

k −1

достаточно большое

k ,

то длину Lk

можно сделать меньше любого

> 0 1

ε . Это означает, что Жорданова мера множества равна нулю.

Из примеров 1 §14 и данного следует, что не все счетные множества точек прямой имеют нулевую меру Жордана, то есть мера Жордана не обладает свойством счетной аддитивности. Отсюда следует, что разбивая отрезок [0,1] на бесконечное (счетное) число отрезков, мы не можем утверждать, что их суммарная длина совпадет с длиной отрезка [0,1]. Этого недостатка не имеет мера Лебега, которая обладает свойством счетной аддитивности. Мы дадим определение только нулевой меры Лебега.

Определение 2. Множество E Rn имеет нулевую меру Лебега, если существует счетное покрытие множества E брусами πi такое, что

∞

∑µ(π i) ≤ ε для ε > 0 .

i=1

Очевидно, если мера Жордана нулевая, то и мера Лебега нулевая, а не наоборот. Заметим, что среди множеств, имеющих нулевую меру Лебега, есть и несчетные множества.

Пример 2. Разделим отрезок [0,1] на три равные части и выбросим

( )	(	)	( )
0	1/3	2/3	1

Оставшиеся отрезки (см. рис.) опять разделим на три равные части и выбросим их средние части. Продолжим этот процесс неограниченно. В результате на отрезке [0,1] останется некоторое множество, которое обозначим P0 . Можно доказать, что множество P0 замкнутое, нигде

неплотное и имеющее мощность континиума. Его называют дисконтиниумом или канторовым совершенным множеством. Открытое множество удаленных точек обозначим P1 . Оно представляет

объединение непересекающихся интервалов, поэтому их общая длина

286

				1		2		4			1
(мера Лебега) равна µ(		) =		1	+	2	+	4	+... =		3		=1.
(мера Лебега) равна µ(		) =			+		+		+... =				=1.
	P1		3		9		27			1	−	2
			3		9		27					2
												3
Поскольку P0 P1 =[0,1] ,					=>		µ(P0) = 0 ,				то		есть мера Лебега
несчетного множества P0			нулевая.

Определение 3. Функцию, множество точек разрыва которой не более чем счетное, называют непрерывной почти всюду.

В §2 отмечалось, что монотонная на отрезке функция, имеющая счетное число точек разрыва, интегрируема по Риману. Возникает вопрос, какая функция интегрируема по Риману? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (Лебега). Ограниченная на отрезке[a,b] функция f (x)

интегрируема по Риману на этом отрезке тогда и только тогда, когда множество точек разрыва функции f (x) имеют нулевую меру Лебега

(без доказательства).
			Пример 3.									1			1
	Y									x
	Y
									1,		(		,					],
												2n		2n −1


												1					1
								f (x)		x		1					1
									= −1,		(				,			],
												2n	+1			2n
0		1/3		1/2		1
						1	X

									0,	x = 0.


						1
Существует ли интеграл ∫ f (x)dx Римана от данной функции?
						0
			Решение.		Данная функция f (x)				ограничена на [0,1]						и терпит

бесконечное (счетное) число разрывов первого рода в точках xn = 1n ,

n =2,3,4,… . Это множество точек разрывов имеет жорданову (а, следовательно, и лебегову) нулевую меру (см. пр.1), поэтому согласно теореме Лебега интегрируема по Риману.

Пример 4.		Существует	ли интеграл Римана от функции
f (x)= 1,	x P0	, если P0 и P1	– множества примера 2?
0,	x P1
			287

Решение. Функция f (x) непрерывна в каждой точке множества P1 , то есть на объединении удаленных интервалов, и разрывная в каждой точке множества P0 . Согласно теореме Лебега интеграл Римана

∫ f (x)dx существует, так как мера Лебега точек разрыва нулевая (см.

пр.2). Таким образом, данная функция служит примером интегрируемой по Риману функции, имеющей несчетное множество точек разрыва.

288

ГЛАВА 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Понятия линейного, нормированного и евклидова пространств

Прежде чем приступить к изучению свойств функций многих переменных, рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых функция может быть определена.

Ранее (см. §14 гл. 1) мы ввели понятие метрического пространства,

примером которого является Rn ,	то есть множество упорядоченных
энок действительных чисел	x = (x1, x2 ,..., xn ),	y = (y1, y2 ,..., yn ).
Метрику в Rn определили формулой
	1
n	2
ρ(x, y) = (∑(xi − yi)2) .		(1)

i=1

Впространстве Rn мы ввели также операции сложения элементов

иумножения элемента на действительное число по формулам:

x + y = z , zi = xi + yi , λx = y , yi = λxi .

(2)

Легко проверить, что операции (2) удовлетворяют следующим свойствам:

1)x + y = y + x (коммутативность);

2)x +(y + z)= (x + y)+ z (ассоциативность);

3)x +θ = x , то есть существует нулевой элемент θ = (0,0,...,0) ;

4)x !y : x + y =θ , y = (−x) называют противоположным

(симметричным) элементом;

5) 1 x = x ;

6) α(β x) = (αβ)x ;

7) (α + β)x =αx + βx;

(3)

8) α(x + y) =αx +α y .

Здесь α и β – действительные числа.

Определение 1. Множество L элементов произвольной природы называют линейным пространством, если в нем введены операции сложения элементов и умножение элемента на число, которые подчиняются аксиомам (3). Элементы линейного пространства называют векторами.

289

Очевидно, множество Rn – один из примеров линейного пространства. Приведем некоторые другие. l2 – множество

последовательностей действительных чисел x = (x1, x2 ,..., xn ,...) с обычными операциями сложения последовательностей и умножения

последовательности		на число;	множество C = [a,b]		непрерывных
функций	на	отрезке	[a,b];	множество	многочленов
a = (a0 , a1, a2 ,..., an ,0,0...) = Pn(x)			степени не выше n .