Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

,α >1,

∞

α −1 ln

α−1

−3

∫

dx =

∫ ln−αxd(ln x) =

∞ =

xlnαx

−α lnα−1x

∞,α <1.

∞

dx = ln ln x

∞

При α =1 ∫

– расходится.

xln x

Вывод: данный интеграл сходится при α >1 и расходится при α ≤1.

§12. Несобственный интеграл второго рода

Как уже отмечалось выше, для неограниченной на отрезке [a,b]

функции интеграл Римана смысла не имеет. Обобщим понятие определенного интеграла на функцию f (x), неограниченную на

полуинтервале [a,b), но ограниченную и интегрируемую на любом отрезке [a,b −ε], 0 < ε < a .

Рассмотрим функцию F (ε )= b−∫ε					f (x)dx .	(1)
				a
Перейдем в (1) формально к пределу при ε → 0 :
lim F (ε )	= lim	b−ε	f (x)dx =	b−0		(2)
lim F (ε )	= lim	∫	f (x)dx =	∫ f (x)dx .		(2)
ε →+0	ε→+0	a		a
b−0			b
Символ ∫	f (x)dx = ∫ f (x)dx называют несобственным интегралом 2-го
a			a

рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не существует, то расходящимся. Точку x = b называют особой.

Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a,b] или внутренняя

точка x = c отрезка [a,b]:

b	f (x)dx =	b				b	f (x)dx,
∫	f (x)dx =	∫ f (x)dx = lim				∫	f (x)dx,
a+0		a			ε →0	a+ε
b			c−ε1		f (x)dx +		b		(3)
∫ f (x)dx = lim				∫	f (x)dx +		∫	f (x)dx .	(3)
a	ε1	→0		a			c+ε2
	ε2	→0

Величины ε1 и ε2 → 0 независимо друг от друга.

271

b−0

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл ∫

(b − x)α

Решение. Пусть α =

b−0

= lim

b−ε

1. Тогда ∫

∫

(b − x)

ε →0

= −limln (b − x)

ba−ε = lim

(ln (b − a)− ln ε )= ∞. =>

ε→0

ε →0

=> Интеграл расходится.

Пусть α ≠1. Тогда

= lim

b−ε

lim

ba−ε =

∫

(b − x)α

→0

(b − x)α

α −1

ε →0 (b − x)α −1

lim

−

<1. Расходится,

. => Сходится,

если

α −1

εα−1

(b − a)α−1

ε →0

если α >1.

Вывод: при α <1 интеграл сходится, при α ≥1 интеграл расходится. При некоторых ограничениях на функцию f (x) несобственный

интеграл 2-го рода сводится к несобственному интегралу 1-го рода. Пусть f (x) непрерывна на [a,b) и b – особая точка. В интеграле

b−ε

∫ f (x)dx сделаем замену.

b−ε

t =

, dx =

1/ ε

b − x

f (b −

∫ f (x)dx =

∫

)

1/(b−a)

t t2

x = b −

≤ t ≤

b − a

Перейдем в (4) к пределу при ε → +0 . Получим

b−0	∞	f (b −	1		dt
∫ f (x)dx =	∫			)		.

a	1/(b−a)		t t2

(4)

(5)

Таким образом данная замена переводит несобственный интеграл 2-го рода в несобственный интеграл 1-го рода. Ясно, что если интеграл в левой части (5) существует, то существует и интеграл в правой части (5), и наоборот. Все признаки сходимости, доказанные для несобственного интеграла 1-го рода, справедливы (с некоторыми поправками) и для интеграла 2-го рода. Правила интегрирования также остаются прежними.

272

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл ∫ln xdx .

Решение. Согласно (2) имеем

U = ln x, dU =

∫ln xdx = lim

∫ln xdx =

dV = dx,V

= x

= lim (xln x − x)

1ε =

ε →+0

ε→+0

ln ε −1

= lim (−1−ε lnε +ε )= −1− lim

= −1 + limε = −1.

ε→+0

→+0

1/ ε

ε →+0

1 dx

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл∫

0 ln x

Решение. Доопределим подынтегральную функцию в точке x = 0,

то есть положим

x=0 = 0 . Особой точкой является

x =1. Найдем

ln x

x −1

предел

lim

= lim x =1.

Это означает эквивалентность функций в

x→1

ln x

x→1

точке

x =1

то

есть

при

x →1. Согласно

предельному

ln x

−1

ведут себя одинаково. Но

признаку сравнения интегралы ∫

∫

x −

0 ln x

расходится

(см. пр.

1),

следовательно, и данный

интеграл ∫

x −1

интеграл расходится.

§13. Главное и обобщенное значения несобственного интеграла

Пусть функция f (x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом конечном отрезке числовой оси. Тогда

∞	f (x)dx =	lim	b	(1)
∫	f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx	(1)
−∞		a→−∞ a
		b→+∞

несобственный интеграл 1-го рода. Напомним, что a и b стремятся к ∞ независимо друг от друга. Положим теперь b = −a . Если существует

предел lim ∫ f (t)dt , то говорят, что несобственный интеграл сходится

a→+∞ −a

273

по Коши, а его значение называют главным значением несобственного интеграла по Коши и обозначают

∞	f (x)dx =	lim	a	(2)
V.P. ∫			∫ f (t)dt .
−∞		a→+∞ −a

Ясно, что если интеграл (1) сходится, то он сходится к этому же значению по Коши. Однако интеграл (1) может расходиться, но иметь главное значение по Коши.

∞

Пример 1. ∫ sin xdx – расходится (см. пр.2 §9). Найдем его

−∞

главное значение.

∞	a		(cos a − cos(−a))= 0 .
V.P. ∫ sin xdx =	lim ∫ sin xdx = − lim
−∞	a→+∞ −a	a→+∞
Теорема. Если функция		f (x) нечетная и интегрируема по Риману

на любом конечном отрезке, то главное значение интеграла равно нулю.

Доказательство.		a	a	0	f (u)du	=	u = −t		=
		a	a	0
		∫	f (t)dt = ∫ f (t)dt +	∫
		−a	0	−a			du = −dt
		−a	0	−a
a	0	a					f (x)
= ∫ f (t)dt −∫ f (−t)dt =		∫( f (t) + f (−t))dt = 0 ,			так как		f (x)	нечетная
0	a	0
∞	a	f (t)dt = 0 . Теорема доказана.
V.P. ∫ f (x)dx = lim ∫		f (t)dt = 0 . Теорема доказана.
−∞	a→+∞ −a		c внутренняя для			[a,b], то главное
Если	особая точка		c внутренняя для		отрезка	[a,b], то главное

значение интеграла по Коши можно ввести и для несобственного

интеграла 2-го рода.		c−ε			b
b	f (x)dx = lim			f (x)dx +			(3)
V.P. ∫			∫		∫	f (x)dx .
a	ε →+0		a		c+ε

a < c < b расходится (см. пр.1

Пример 2. Интеграл ∫

§12).

x −c

c−ε

Найдем его главное значение. V.P. ∫

= lim

∫

+ ∫

x − c

x −c

(ln

bc+ε )

ε →+0

c+ε

= lim

x −c

ca−ε + ln

x −c

ε→0

(

a − c

+ ln (b − c)− lnε

)

b − c

= lim

ln ε −ln

= ln

Итак, главное значение

ε →0

c − a

расходящегося интеграла существует.

274

Пример 3.

Интеграл

расходится.

Найдем его главное

∫

(x −1)2

−2

1−ε

значение. V.P. ∫

= lim

∫

(x −1)2

−2

ε →0

−2 (x −1)2

1+ε (x −1)2

= −lim

1−ε

= − lim

−2

1+ε

−

= −∞.

Главное

ε→0

x −1

ε →0

значение данного интеграла не существует.

Мы уже отмечали аналогию между несобственным интегралом

∞	∞
первого рода ∫ f (x)dx и числовым рядом	∑U n . Напомним, что
a	n=0

расходящемуся ряду мы приписывали обобщенную сумму (см. §12 пример 3). Аналогично и некоторым расходящимся интегралам можно приписать обобщенное значение.

Пусть функция		f (x) определена на [0,∞) и интегрируема по
Риману на любом конечном отрезке [0, x].					F (x)= ∫x		f (t)dt .	Возьмем
					1	0
среднее	значение функции F (x),		F	(x) =	1	x F(u)du . Предел этого
среднее	значение функции F (x),		F	(x) =		x F(u)du . Предел этого
			ср.		x	∫
		при x → +∞,			x	0
среднего	значения	при x → +∞,	если он			существует, и		назовем
						∞

обобщенным значением несобственного интеграла ∫

f (x)dx по Чезаро.

1 x

I ч =

lim

∫F(u)du .

(4)

x→+∞ x 0

∞

Пример 4. Интеграл ∫sin xdx расходится.

F (x)= ∫x sin tdt =1−cos x .

1 x

x −sin x

I ч = lim

∫F(u)du

= lim

=1.

x→∞

x 0

x→∞

∞

Обобщенное значение

интеграла

∫ f (x)dx

по

Пуассону-Абелю

определяется формулой

∞

I па

= lim ∫ e−αx f (x)dx.

(5)

α→∞ 0

275

Пример 5. Найти	обобщенное	значение		по Пуассону-Абелю
∞
интеграла ∫sin xdx .
0	∞		1
	∞
Решение. I па = lim	∫ e−αx sin xdx = lim			=1.
Решение. I па = lim	∫ e−αx sin xdx = lim			=1.
α→∞	0	α→∞ α2 +1

Это значение совпадает с обобщенным значением по Чезаро. Можно доказать, что если несобственный интеграл сходится к некоторому числу, то обобщенное значение совпадает с этим числом.

§14. Понятие меры множества. Мера Жордана

Длиной отрезка ∆ = [a,b] (b ≥ a) называют число µ(∆)= b − a . Однако длину отрезка ∆ можно рассматривать как некоторую меру

множества всех точек, составляющих этот отрезок. То есть помимо всех уже известных характеристик множества, таких как мощность, плотность, непрерывность и прочее, можно ввести еще одну характеристику – меру (измеримость) множества.

Мерой всех точек отрезка ∆ =[a,b] назовем его длину. Будем

писать µ(∆)= mes(∆)= b − a .					Если имеется два отрезка, не имеющих
общих точек,		∆1 =[a1,b1 ],			∆2 =[a2	,b2 ], то	их		C
суммарную	длину		назовем		мерой	объединения
								a	b
множеств		∆1		и	∆2 ,	то	есть
mes(∆1U ∆2 )= mes ∆1 + mes ∆2 .Это						свойство	меры		называется
аддитивностью.			[a,b] точкой C
Если	отрезок					разбить	на два промежутка, то
естественно		считать,		что	mes	[a,b]= mes[a,c]+ mes[c,b] =>
b − a = c − a + mes[c,b]				=> mes(c,b)		= b −c , то есть			меры (длины)

отрезка [a,b], промежутка (a,b], интервала (a,b) равны между собой и

равны b −a. Следовательно, мера одной точки равна нулю. Очевидно, мера конечного числа точек также равна нулю.

Возникает вопрос, а какова мера счетного числа точек? Какова, например, мера рациональных точек отрезка [a,b] или иррациональных

точек этого отрезка?

Существуют несколько подходов к решению этой задачи. В частности, существует мера Жордана, мера Лебега и другие меры множества.

276

Пусть E – произвольное ограниченное линейное (то есть расположенное на числовой оси) множество. Определим меру Жордана этого множества. Для этого возьмем отрезок ∆ = [a,b], содержащий

множество E , то есть ∆ > E . Разобьем отрезок ∆ на k равных частей и полученные отрезки назовем отрезками первого ранга. Обозначим суммарную длину отрезков ∆i первого ранга таких, что ∆i E , через

l1. Общую длину отрезков первого ранга, содержащих хотя бы одну точку множества E , обозначим через L1 . Разобьем теперь каждый

отрезок первого ранга опять на k равных отрезков второго ранга. И опять суммарную длину отрезков второго ранга, целиком

принадлежащих E , обозначим через l2 , а суммарную длину отрезков
второго ранга,	имеющих хотя бы одну общую точку с множеством E ,
обозначим L2 . Продолжая этот процесс неограниченно, получим две
числовые последовательности: l1, l 2 , l3 , …ln ,…
	L1 , L2 , L3 , ... Ln ,…	(1)
Так как за счет измельчения добавляются новые отрезки , целиком
лежащие в	E , то последовательность {ln }	неубывающая, но

ограниченная сверху (общая длина отрезков не может быть больше

b −a), поэтому имеет предел. Обозначим его mes* E = limln			и назовем
внутренней мерой Жордана множества Е.
Последовательность	{Ln } невозрастающая и ограничена снизу,
поэтому имеет предел.	Обозначим его	mes* E = lim L	и назовем
		n

внешней мерой множества E .

Определение 1. Если внешняя и внутренняя меры совпадают, то их общее значение называют мерой Жордана множества E , то есть

mes E = mes* E = mes E .	Множество	E называют	измеримым по
Жордану, в противном случае – неизмеримым.			Q рациональных
Пример 1. Найти	меру Жордана	множества	Q рациональных

чисел отрезка [0,1].

Решение. Поскольку множество рациональных чисел плотное, то отрезков, целиком содержащихся в Q , не существует, то есть

последовательность {ln } состоит из нулей. Так как любой отрезок n -го

ранга содержит хотя бы одну рациональную точку, то суммарная длина Ln таких отрезков всегда равна 1, то есть последовательность {Ln }

277

сходится к 1. Таким образом mes* Q = 0 , mes* Q =1. => Множество рациональных чисел Q отрезка [0,1] неизмеримо по Жордану.

Замечание. Объединение отрезков n -го ранга, содержащих хотя бы одну точку множества E – это множество замкнутое и ограниченное, следовательно, компактное (см.§9 гл.4), то есть оно имеет открытое покрытие Gn , состоящее из конечного числа

интервалов. Пусть их общая длина Ln′ . Тогда внешнюю меру Жордана

множества E можно рассматривать	как точную нижнюю грань
последовательности Ln′ , mes* E = inf Ln′	= inf (mesGn ).
n	n

Выберем из последовательности покрытий Gn отрезки, целиком лежащие в E . Обозначим их объединение Fn , а общую длину ln′. Тогда внутреннюю меру Жордана можно трактовать как точную верхнюю грань последовательности ln′, mes* E = sup ln′ = sup (mes Fn ).

n n

В R2 рассмотрим прямоугольник π =[a,b]×[c, d ] –

d π1 π2 c

a ξ b

прямое произведение линейных множеств. Назовем мерой (площадью) прямоугольника π число

µ(π )= (b − a)(d − c).

Представим прямоугольник π		следующим образом:
π = (π1 \ ∆) π2	(см. рис).	Считая площадь


прямоугольника		аддитивной		функцией,				получим
µ(π )= µ(π1 \ ∆)	+ µ(π2 )= µ(π1 \ ∆)+ (b −ξ )(d − c)= (b − a)(d − c). =>
µ(π1 \ ∆)= (d − c)(ξ − a).			Следовательно,		площадь		замкнутого
прямоугольника	π ={a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}, площадь					полуоткрытого и
площадь открытого		прямоугольника		равны	между собой,			а мера
(площадь) отрезка ∆ равна нулю, µ(∆) = 0 .
Пусть{e i }in=1		– стандартный		базис	в	Rn ,	а	векторы
xi = (bi − ai )e i	коллинеарны базисным векторам e i . Прямоугольный
параллелепипед	π =[a1,b1 ]×[a2 ,b2 ]×...×[an ,bn ]				называют		n -мерным
брусом. Мерой (объемом)			бруса называют число µ(π )=				n
							Π (bi − ai ).

i=1

Рассматривают и открытые брусы (a1,b1 )×(a2 ,b2 )×...×(an ,bn ). Можно убедиться, что объем (мера) бруса не зависит от того, открытый он или

278

нет, а объем грани этого бруса равен нулю. Определение меры Жордана, рассмотренное выше для линейного множества, легко

обобщается на плоское множество (то есть лежащее в R2 ) и на любое ограниченное множество пространства Rn .

		Пусть E – плоское ограниченное множество. Заключим
d		его в прямоугольник π =[a,b]×[c, d ]. Разобьем отрезки
d		[a,b] и [c, d ]	на	k равных отрезков. Тогда


c		прямоугольник	π	разобьется на k2 равных
a	b	прямоугольников	первого ранга. Подсчитаем число
		прямоугольников,	целиком лежащих в E и их общую

площадь обозначим s1. Общую площадь прямоугольников, не лежащих целиком в E , но имеющих хотя бы одну общую точку с E , обозначим S1 . Аналогично линейному случаю получим k4 прямоугольников второго ранга и сходящиеся последовательности {sn } и {Sn }. Меру

(площадь) Жордана плоского множества E найдем согласно определению 1.

Пример 2. Найти меру Жордана (площадь) криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x).

Решение.

Плоскую фигуру, ограниченную кривой y = f (x) и прямыми x = a , x = b, y = 0, называют криволинейной трапецией, если f (x)≥ 0. Обозначим множество точек

a	b	плоскости	криволинейной трапеции		через	E .	По
		условию задачи следует		найти mes E = S –		площадь
криволинейной трапеции.			Разбиению τ	отрезка [a,b]	соответствуют
			n	n
суммы Дарбу		sn (τ, f )= ∑mi ∆xi и Sn (τ, f )= ∑Mi ∆xi			(см.	§2).	Эти
		i=1		i=1

суммы Дарбу являются последовательностями суммарных площадей прямоугольников, целиком лежащих в E , и прямоугольников, имеющих хотя бы одну общую точку с E , соответственно. Тогда согласно определению 1 меры Жордана имеем

mes E = S = lim sn = lim Sn .		(2)
n→∞	n→∞

Но предел интегральных сумм (2) является определенным интегралом

(см.§ 3). Итак, mes E = S = ∫ f (x)dx , то есть площадь криволинейной

279

трапеции равна определенному интегралу, если последний существует. Следствие. Очевидно, Sn (τ, f ) – sn (τ, f ) – это суммарная

площадь прямоугольников, покрывающих кривую y = f (x) (см.

заштрихованные прямоугольники на рис.).

Из замечания и теоремы 1 §2 следует, что необходимым и достаточным условием существования меры (площади) криволинейной трапеции – нулевая мера (площадь) кривой y = f (x).

§ 15. Приложения определенного интеграла

а) Вычисление площади в декартовой и полярной системах координат.

	f(x)	В предыдущем параграфе показано, что площадь
		криволинейной трапеции равна определенному интегралу,
		криволинейной трапеции равна определенному интегралу,
		если последний		существует.		Если плоская	фигура,


a g(x) b		расположенная в полосе			a ≤ x ≤ b, ограничена графиками
		функций	y = f (x) и y = g (x),			то легко убедиться, что
		площадь	этой	фигуры	можно	определить	формулой

b
S = ∫( f (x) − g(x))dx.	(1)

Формула (1) справедлива и при отрицательных значениях функций,

если f (x)− g (x)≥ 0 x [a,b].

Обобщим понятие площади на неограниченную плоскую фигуру, то есть назовем площадью значение интеграла (1) и в том случае, когда он

несобственный (первого или второго рода).

Пример 1. Найти

площадь

криволинейной

трапеции,

ограниченной кривой: a)

y =

, x ≥1; б) y =

, x

[

0,1 ;

1+ x2

1 − x

]

в) y =

, x

[

0,1 .

− x

]

∞

∞ =π / 4.

Решение. а) S = ∫

=arctg x

1 1

+ x2

= −2 1 − x

1 = 2 .

б) S = ∫

1− x

1−ε

= −lim ln (1 − x)

1−ε = −limlnε = +∞.

в) S = ∫

= lim

∫

0 1− x

→0 0

1− x

ε →0

ε→0

В данном случае все три плоские фигуры неограниченные, но первые

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf