метрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.

28. Кривизна плоской линии. Радиус кривизны и круг кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

4.1. Матрицы

Прямоугольная таблица из чисел вида

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m × n.

Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице А, если

Если матрица А – вырожденная (det A = 0) , то обратной к ней не существует.

15

П р и м е р 4.1. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице

Так как det A = -10 ¹ 0 , то A – невырожденная и A−1 существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :

A11 = (−1)1+1 3 4 = 1(6 − 8) = −2 ; 2 2

4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида

или, в матричной форме

16

А Х = В,

где

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1). Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она

имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

xi = i , i = 1, 2, K, n,

где i – определитель, получаемый из определителя заменой его

i-го столбца на столбец В свободных членов.

Матричный метод.

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле

X = A−1B .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду

17

где cii ¹ 0 (i = 1, 2, K, r), r £ n.

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел dr +1,K, dm отлично от нуля, то система (4.2), а следова-

тельно, и исходная система несовместны. Если же dr+1 = dr+2 =...=

= d = 0, то система совместна и из уравнений (4.2) выражают по-

m

следовательно неизвестные xr , xr−1,K, x2, x1 через xr +1, xr+2,K, xn .

П р и м е р 4.2. Методом Гаусса решить систему

Р е ш е н и е . Расширенная матрица системы имеет вид

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

где цифрами [1], [2], [3] обозначены следующие операции:

18

[1] – первую и вторую строки поменяли местами; [2] – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибавили первую, умноженную на (–3); [3] – к третьей строке прибавили

вторую, умноженную на (–1).

Этой матрице соответствует система

Отсюда последовательно находим

П р и м е р 4.3. Решить систему уравнений

используя формулы Крамера.

Р е ш е н и е . Так как определитель данной системы

то матрица А невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители D1, D2 , D3 :

19