7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ

ИХ ГРАФИКОВ

7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты

Если существует окрестность (x0 - d; x0 + d) точки x0 такая, что для всякой точки x ¹ x0 этой окрестности выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) (или f (x) < f (x0 ) ), то точка x0 называется точкой минимума (максимума) функции y = f (x) . Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если x0 – точка экстремума функции f (x) , то f ′(x0 ) = 0 или f ′(x) не существует ( x0 – критическая точка этой функции).

Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности (x0 - d;

x0 + d) критической точки x0 , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (x0 - d; x0 ) и (x0 ; x0 + d)

(x0 − δ; x0 ) и (x0; x0 + δ) сохраняет знак, то точка x0 не является

точкой экстремума.

Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть

точка минимума. Если же f ′′(x0 ) = 0 , то требуются дополнитель-

ные исследования.

Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).

Если f ′′(x) > 0 на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же f ′′(x) < 0 , то график функции – выпуклый на (a; b).

Точка (x0 , f (x0 )) , при переходе через которую направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называ-

ется точкой перегиба.

Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если x0 –

абсцисса точки перегиба графика функции y = f (x) , то f ′′(x0 ) = 0 или f ′′(x0 ) не существует.

Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функ-

существует. Если при этом в интервалах (x0 − δ; x0 ) и (x0; x0 + δ) вторая производная f ′′(x) имеет противоположные знаки, то (x0; f (x0 )) – точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой графика функции y = f (x) , ес-

ли расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов

61

lim f (x) был равен бесконечности.

x→a±0

Для существования наклонной асимптоты y = kx + b необходимо и достаточно существование двух пределов

вая ее нулю, получаем x1 = −1, x2 = 1 и x3 = 0 (при х = 0 f ′(x) не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

П р и м е р 7.2. Для графика функции y = 36x2 − x2 найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

62

Критическими точками второй производной являются точки x1 = 0 и x2 = 6 ( в этих точках y′′(x) не существует). Они разбивают об-

ласть определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

Таким образом, (−∞; 0) (0; 6) – интервалы выпуклости графика функции; (6; + ∞) – интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба.

Р е ш е н и е . Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как

63