Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

П р и м е р 5.4. Установить вид точек разрыва функции

f(x) = e x+1.

Ре ш е н и е . Данная функция непрерывна всюду, кроме точки

х= –1, в которой f(x) не определена.

Поскольку

	f (x) =		1				= 0 (т.к.	1	→ −∞ при x → −1 − 0 ),
lim		lim		e	x+1
								x + 1
x→−1−0		x→−1−0
lim f (x) =			1			= +∞ (т.к.		1	→ +∞ при x → −1 + 0 ),
			e
		lim		x+1
								x + 1
x→−1+0	x→−1+0

т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода.

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. Дифференцирование функций

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f '(x) = lim	y ,
x→0	x
где y = f (x + x) − f (x).

Производная обозначается у', y'(x), y'x, dy . dx

Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная,

аu(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

1)C' = 0,

2)(Cu)'= Cu',

3)(u ± v)'= u'±v',

4)(u ×v)'= u'v + v'u ,

u '		u'v - uv'
5)	=		(v ¹ 0) .
		v2
v

Производная сложной функции y = f(u(x)). Если функция u = u(x)

дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна

y'(x) = f 'u (u) × u'(x).

Таблица производных.

1. (uα )'= auα−1 ×u', a ¹ 0; 2. (au )'= au ×ln a ×u';

3. (eu )'= eu × u';

(loga u)'=

×u';

×ln a

(ln u)'=

×u';

(sin u)'= cosu × u';

(cosu)'= -sin u × u';

8. ( tg u)'=

×u';

cos2 u

(ctg u)'= -

×u';

sin2 u

10. (arcsinu)'=

×u'; (arccosu)'= -

×u';

1- u2

11. (arctg u)'=	1	×u'; (arcctg u)'= -	1	×u';
	+ u2		1+ u 2
1

12.(sh u)'= ch u × u';

13.(ch u)'= sh u × u';

14. (th u)'=	1	×u';	(cth u)'= -	1	×u'.
	ch2 u
				sh2 u
Функция	y = f (x),		x Î (a; b), неявно задана			уравнением
F (x, y) = 0,	если	для	всех x Î (a; b) выполняется			равенство

F (x, f (x)) = 0.

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество F (x, f (x)) = 0 продифференцировать по х (рассмат-

ривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x).

П р и м е р 6.1. Найти производную показательно-степенной функции

		1	2x
y = 1	+		.

		x

Р е ш е н и е . Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и
правую части равенства, получим
		1
ln y = 2x ln 1	+		;
ln y = 2x ln 1	+		;
		x

y¢

= 2 ln 1

+ x

1 +

Умножая обе части равенства на у, имеем:

		1 2x			1		1
y¢ = 2 1	+		× ln 1	+		-		.

		x			x
							x +1

П р и м е р 6.2. Найти производную функции y = f (x) , задан-

ной неявно уравнением x2 - 2x2 y2 + 5x + y - 5 = 0 .

Ре ш е н и е . Дифференцируя по х тождество x2 - 2x2 y2(x) +5x +

+y(x) - 5 = 0 , получим 2x - 4xy2 - 4x2 yy¢ + 5 + y¢ = 0 . Выражая y′ из этого равенства, находим:

y¢ = 4xy2 - 2x - 5 .

1 - 4x2 y

Дифференциал dy функции y = f (x) равен произведению ее производной на приращение x независимой переменной: dy = f ′(x) x

или dy = f ′(x)dx .

При достаточно малых x имеет место приближенная формула y ≈ dy , т.е. f (x + x) − f (x) ≈ f ′(x) x или f (x + x) ≈ f (x) + f ′(x) x .

П р и м е р 6.3. Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.

Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой V = V (r) = 4 πr3 . Тогда

V¢ = 4pr2 . Полагая r =1, r = 0,02, получим V(1,02) ≈V(1) +V′(1)0,02=

=4 π + 4π0,02 ≈ 4,43 м3. 3

6.2.Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производной второго порядка функции y = f (x) называется

производная от ее производной y′ = f ′(x) , т.е. y′′ =	d 2 y	= ( y′)′ .
	dx2

Аналогично определяются производные более высоких порядков y′′′ = ( y′′)′,K, y(n) = ( y(n−1) )′ .

Дифференциалы высших порядков функции y = f (x) (x – независимая переменная) вычисляются по формулам

d 2 y = y′′(dx)2 ,K, d n y = y(n) (dx)n .

Если функция y = y(x)

задана параметрически соотношениями

x = x(t),

y = y(t) , причем

′

то ее первая

′

и вторая

′′

x (t) ¹ 0 ,

yxx

производные находятся по формулам:

y′

′

y′

( y′ )′

x′

y′′ x′ − x′′ y′

y′

, y′′

= ( y′ )′

x t

tt t

xt′

(xt′)3

П р и м е р

6.4. Найти выражение для производной n-го порядка

функции y =

Р е ш е н и е .

y′ = −

;

y′′ =

;

y′′′ = −

2 × 3

= −

,K, y(n) = (−1)n

xn+1

П р и м е р

6.5. Найти производную 2-го порядка от функции

arctg

y = y(x) , заданной неявно уравнением

x2 + y2 = e

x .

Р е ш е н и е . По правилу дифференцирования функции, заданной неявно, получаем:

arctg

x + yy′

x ( y′x − y)

x2 + y2

arctg

Отсюда, используя равенство e

x = x2 + y2 , имеем:

x + yy′

y′x − y

или x + yy′ = y′x − y .

x2 + y2

Следовательно, y′ = x + y . x − y

Дифференцируя последнее равенство и используя найденное для y′ выражение, получим:

y′′ =

(1 + y′)(x − y) − (1 − y′)(x + y)

x − y + xy′ − yy′ − x − y + xy′

(x − y)2

yy′

2xy′ −

2(x

x + y

− y)

x − y

2(x2 + y

2 )

(x − y)2

(x − y)3

П р и м е р 6.6. Найти производную 2-го порядка функции,

за-

данной параметрически: y = ln t,

x = t 2 , t (0;+∞).

Р е ш е н и е .

y′ =

, x′ = 2t, y′

yt′

xt′

2t 2

′

′ ′

− 13

y′′

( yx )t

= −

xt′

2t 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.2019183.3 Кб128Diplom_TOsika.doc
#
31.05.2015113.73 Кб153Dlya_zavochnikaw_letnyaya_sesiya_2014-2015gg.docx
#
04.11.20181.76 Mб70doc1.doc
#
31.05.2015474.62 Кб46doc1.doc
#
31.05.2015490.5 Кб40doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб19doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб28doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб523doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб38doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб107doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб12document.doc