YA |
P |
Жесткая заделка. Если тело со связью |
||
соединено жестко (не допускаются никакие |
||||
|
|
перемещения), то такое соединение назы- |
||
XA |
|
вают жесткой заделкой, или защемлением |
||
|
(конец балки в |
кирпичной или |
бетонной |
|
MA |
|
кладке, конец столба в земле). Реакция |
||
|
|
|||
такой связи состоит из силы и пары. Силу раскладывают на две перпендику- |
||||
лярные составляющие, а пару сил прикладывают к защемленному концу, на- |
||||
правляя ее по ходу или против хода стрелки часов (для плоской системы сил). |
||||
Или на три перпендикулярные составляющие и на три пары сил вокруг трех |
||||
перпендикулярных осей (для пространственной системы сил). |
|
|||
|
|
Скользящая заделка. Связь огра- |
||
RА |
|
ничивает линейное перемещение тела в |
||
|
одном направлении и не позволяет телу |
|||
|
|
|||
|
|
поворачиваться вокруг опоры. Ее реак- |
||
|
|
ция раскладывается на силу RA , которая |
||
|
|
направлена по нормали к заделке и на |
||
МА |
|
пару сил приложенных к телу с момен- |
||
|
том M A . |
|
|
|
|
|
Двойная |
скользящая |
заделка. |
|
|
Связь препятствует повороту тела. Ее |
||
|
|
реакция представляет собой пару сил |
||
|
|
приложенных к телу с моментом M A . |
||
МА |
|
Следует помнить, что рассмотрен- |
||
|
|
ные выше связи во многом идеализиро- |
||
|
|
ваны (гладкая поверхность, невесомые |
||
|
|
стержни, шарниры без трения и прочее). |
||
Кроме того, в инженерных или даже в учебных задачах по теоретической механике часто не оговариваются типы связей, действующие на тело. В этих условиях необходимо самому проанализировать свойства связей и отнести их к тому или иному типу.
Правильно определить типы связей и показать направление их реакций – третье необходимое условие умения решать задачи статики.
УПРОЩЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ (ПЕРВАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ)
Упрощением (по иному – сложением) называют замену одной системы сил другой, более простой, но оказывающей на одно и то же тело одинаковое действие (такие системы сил называются эквивалентными).
Наиболее часто системы сил упрощают двумя способами: первый основан на аксиоме о сложении сил с помощью параллелограмма, – применяется для сходящихся сил; второй основан на теореме о параллельном переносе силы
8
(Лемма Пуансо), – применяется для произвольной плоской и пространственной систем сил.
Упрощение сходящейся системы сил
Сходящиеся силы всегда могут быть заменены равнодействующей силой. Ее модуль и направление находят: при графическом решении по замыкающей стороне многоугольника, построенного на силах; при аналитическом решении с помощью проекций сил на координатные оси по формулам
R = (∑Fix )2 +(∑Fiy )2 +(∑Fiz )2 ; |
|
cos(R,i )= Rx / R; cos(R, j)= Ry / R; cos(R, k )= Rz / R , |
(4) |
где Fix , Fiy , Fiz , Rx , Ry , Rz – проекции сил и равнодействующей на координатные оси.
|
F |
Проекция силы на ось равна произве- |
|
α |
|
дению модуля силы на косинус угла между |
|
|
силой и положительным направлением оси. |
||
Fx |
x |
прx (F )= Fx = F cos α. |
(5) |
При решении многих задач приходится иметь дело с силами, лежащими не
вплоскости, а в трехмерном пространстве. В этом случае:
1.Силу на оси координат проектируют обычно в два приема (метод двойного проецирования). Сначала ее проецируют на одну из осей (угол между которой и вектором силы известен) и на координатную плоскость двух других осей. Проекция силы на плоскость является вектором. Этот вектор затем проецируют на оси координат, расположенные в плоскости.
|
|
|
Пример использования метода двойного про- |
||
Fz |
|
|
ецирования. |
|
|
|
|
|
|
||
α |
F Fу |
|
1. прz (F) = Fz = F cosα |
||
y |
прxy (F) = Fxy |
= F sinα |
|||
β |
|
||||
|
2. прx (F) = Fx |
=прx (Fxy ) = Fxy cos β = F sinα cos β |
|||
|
|
||||
Fх |
Fху |
|
|||
|
|
прy (F ) = Fy |
= прy (Fxy ) = Fxy sin β = F sinαcos β |
||
Упрощение произвольной системы сил
Произвольную систему сил в общем случае можно заменить одной силой (главным вектором – R ′) и одной парой (главным моментом относительно центра приведения – MO ), что принято записывать
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
F1, F2 ,..., Fn → R; |
M |
F1, F2 ,..., Fn ~ R; |
M |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Модуль и направление главного вектора находят с помощью проекций сил |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на координатные оси по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R′= (∑F )2 + |
(∑F |
)2 +(∑F )2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix |
|
|
iy |
|
|
iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
, |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos(R;i )= Rx |
R ; cos(R |
, j)= Ry |
R |
; cos(R; k )= Rz |
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где R′ |
= ∑F , |
|
|
R′ |
= ∑F , |
R′ = |
∑F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
Ix |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Модуль и направление главного момента относительно центра находят с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
помощью моментов сил относительно координатных осей по формулам. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MO = [∑mx ( |
|
|
)]2 +[∑my ( |
|
)]2 +[∑mz ( |
|
)]2 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fi |
Fi |
Fi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos( |
|
|
|
|
)= MOx / MO ; cos( |
|
|
O , |
|
)= MOy / MO ; |
cos( |
|
|
|
)= MOz / MO , |
(7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
O , i |
M |
j |
M |
O , k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где mx ( |
|
), my ( |
|
), |
mz ( |
|
) – моменты сил относительно осей; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fi |
Fi |
Fi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MOx, |
MOy , MOz – проекции главного момента на оси, причем MOx =∑mx( |
F1); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MOy = ∑my ( |
|
); MOz = ∑mz ( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Fi |
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Примечание. В частных случаях систему сил можно заменить: парой сил, если R′ = 0 , а скалярное произведение –
R′ MO = R′x MOx + R′y MOy + R′z MOz = 0 ;
динамой (динамическим винтом), если
R M = Rx′ MOx + R′y MOy + R′z MOz ≠ 0 .
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ (ВТОРАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ)
Изучение равновесного состояния тела в теоретической механике сводится, как правило, к определению неизвестных сил, приложенных к телу. Знание сил позволяет инженеру выбрать подходящий материал, размер и форму тела (сооружения, технического устройства) и рассчитать его на прочность, устойчивость и другие показатели качества. Поэтому определение условий равновесия тел и нахождение сил имеет важное практическое значение.
Решая задачи статики, необходимо стремиться, чтобы наиболее коротким путем прийти к решению. Такая методика устанавливает, что надо делать и в какой последовательности.
10
Методика решения задач по статике
1этап. Изучить задачу (что дано, что определить, что главное, что второстепенное – для этого иногда следует несколько раз читать условие задачи).
2этап. Выбрать объект равновесия (им может быть узел, тело любой формы, сложная конструкция или ее часть, машина, механизм и прочее).
3этап. Показать заданные (известные) силы, приложенные к выбранному объекту равновесия.
4этап. Установить связи, действующие на объект, определить типы связей
ипоказать их реакции.
5этап. Определить вид системы сил, действующей на объект, и записать для нее уравнения равновесия (каждый вид имеет свои уравнения).
6этап. Выполнить действия, предусмотренные уравнениями равновесия (спроектировать силы, вычислить их моменты и прочее), найти искомые величины, результаты проанализировать.
Равновесие произвольной плоской системы сил
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на две оси и сумма моментов сил относительно любой точки равнялись нулю, т.е.
∑ Fix = 0; ∑ Fiy = 0; ∑mA ( |
|
)= 0 . |
(8) |
Fi |
Вместо уравнений (9) иногда лучше использовать другую систему уравне-
ний
∑Fix = 0; ∑mA ( |
|
)= 0; ∑mB ( |
|
)= 0 , |
(9) |
Fi |
Fi |
где A и B – произвольные точки; ось x не перпендикулярна к прямой AB, или третью
∑mA ( |
|
)= 0; ∑mB ( |
|
)= 0; ∑mC ( |
|
)= 0 , |
(10) |
Fi |
Fi |
Fi |
где A, B и C – произвольные точки, не лежащие на одной прямой.
Для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси равнялись нулю, т.е.
∑ Fix = 0, ∑ Fiy = 0. |
(11) |
11