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Вуз:

Белорусский национальный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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математика

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ɩɨɥɧɨɝɨ ɫɝɨɪɚɧɢɹ ɝɨɪɸɱɟɝɨ ɜ ɦɨɦɟɧɬ t

T :

(F R)t2

. Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

Rt C3 .

ɉɪɢ

0 ɫɤɨɪɨɫɬɶ x ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɚ

(7.4): mx

R³mdx

³Rdt; mx

ɫɤɨɪɨɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɢɦɟɟɬ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɶ ɜ ɦɨɦɟɧɬ Ɍ ɫɝɨɪɚɧɢɹ ɝɨɪɸɱɟɝɨ ɢ ɤɨɬɨɪɚɹ ɢɡ

ɮɨɪɦɭɥɵ

(7.5)

ɪɚɜɧɚ

R)T ;

(F R)T

. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɷɬɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ

ɭɫɥɨɜɢɹ, ɧɚɣɞɟɦ C3 :

(F R)T

0 C3 , C3

(F R)T .

Rt0

(F R)T ;

(7.6)

ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ C3 , ɢɦɟɟɦ mx

Rt2

(F R)Tt C

ɩɪɢ t

0, x

ºɣ

Rt 2

ɉɨɷɬɨɦɭ C4

(F R)Tt» .

m ¬

ɢ¼

ɑɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɩɭɬɶ S2 ,

ɧɚɞɨ ɡɧɚɬɶ ɜɪɟɦɹ t ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ ɩɨ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɞɨ ɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ( x

0 ).

ɂɡ (7.6) ɩɨɥɭɱɢɦ

0 Rt (F R), t

(P R)

T ;

ɢR

2 º

(F R)

ɡR (F R)

(F R)

– ɩɭɬɶ, ɩɪɨɣɞɟɧɧɵɣ

2R2

2Rm

ɩɨ ɢɧɟɪɰɢɢ;

(F R)T 2

(F R)2 T 2

2 (F R)2 F

S S

– ɢɫɤɨɦɵɣ ɩɭɬɶ.

2Rm

ȼɈɉɊɈɋɕ ȾɅə ɋȺɆɈɄɈɇɌɊɈɅə

ɇɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

1.Ʉɚɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ F x ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f x ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟɍ

a,b ? ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɢɦɟɪɨɜ.

2.ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ f x ? Ɍ

3.Ʉɚɤɨɜɵ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ?ɇɁɧɚɬɶ ɢɯ ɢ ɭɦɟɬɶ ɞɨɤɚɡɵɜɚɬɶ.

4.Ɍɚɛɥɢɰɚ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ. Ʉɚɤ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸȻɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɶ ɬɚɛɥɢɱɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ?

5.ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ «ɧɟɛɟɪɭɳɢɯɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜɣ», ɬ.ɟ. ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ, ɧɟ ɜɵɪɚɠɚɸɳɢɯɫɹ ɱɟɪɟɡ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.

6.ȼ ɱɟɦ ɫɨɫɬɨɢɬ ɦɟɬɨɞ ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɹ ɩɨɞɢɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɞɥɹ ɩɨɢɫɤɚ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ? ɉɪɢɜɟɫɬɢɪɩɪɢɦɟɪɵ.

7.Ɇɟɬɨɞ ɡɚɦɟɧɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɜɨɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɟ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ.

8.Ɏɨɪɦɭɥɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɹ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɬɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.

9.ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣɢ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɣ ɬɪɟɯɱɥɟɧ:

; ³

dx; ³

dx;

bx C

ax2 bx C

bx C

ɡax

ɨdx

;

³ ax2 bx C dx.

bx C

mx n ax

10.

ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ ɪɚɞɢɤɚɥɵ (ɢɪɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ) ɨɬ

ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɢɥɢ ɞɪɨɛɧɨ–ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.

11.

ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.

12.

ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ ɩɪɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ

ɢɪɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

1.ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟɦ ɨɬɪɟɡɤɚ >a; b@ ɜ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɦ ɢɫɱɢɫɥɟɧɢɢ?

2.Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ b³ f x dx ɤɚɤ ɩɪɟɞɟɥɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɯɍɌ

3.	ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɢ ɭɦɟɬɶ ɨɛɨɫɧɨɜɵɜɚɬɶ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɣ ɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɢɣ ɫɦɵɫɥ
	a						ɇ
	b					Ȼ
	ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ³	f	x dx .
4.	ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɭɫɥɨɜɢɹ	ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ					f x ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ >a, b@.
					ɣ
	ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɬɶ ɤɥɚɫɫɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.
5.					ɢ
5.	Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ.
6.	Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ.
7.	ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ ɫ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ ɜɟɪɯɧɢɦ ɩɪɟɞɟɥɨɦ?
		ɨ
	Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɨɬ ɷɬɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚɪɩɨ ɜɟɪɯɧɟɦɭ ɩɪɟɞɟɥɭ.
8.	ɬ
8.	Ɏɨɪɦɭɥɚ ɇɶɸɬɨɧɚ–Ʌɟɣɛɧɢɰɚ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ.
9.	Ɂɚɦɟɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɟ; ɜ ɱɟɦ ɨɬɥɢɱɢɟ ɷɬɨɣ ɡɚɦɟɧɵ ɨɬ
	ɢ
	ɡɚɦɟɧɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɜ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɟ?
10.	ɡ
10.	ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɟ.
	ɨ					a
						b
11. Ɉɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ³ f							x dx ɩɨ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ
ɟ			>	@	ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ:
	ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɩɬɨɱɤɢ O ɨɬɪɟɡɤɭ a; b				ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ:
Ɋ		x >a, b@;
	ɚ) ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f x ,	x >a, b@;

ɛ) ɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f x ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ >a; b@.

12. ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ:

ɚ) ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɥɨɫɤɨɣ ɮɢɝɭɪɵ ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɚɯ ɡɚɞɚɧɢɹ ɥɢɧɢɢ ɝɪɚɧɢɰɵ

ɮɢɝɭɪɵ;

ɛ) ɨɛɴɟɦɚ ɬɟɥɚ ɫ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɩɥɨɳɚɞɶɸ S x

ɟɝɨ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ ɢ ɬɟɥ

ɜɪɚɳɟɧɢɹ.

ɜ) ɞɥɢɧɵ ɞɭɝɢ ɩɥɨɫɤɨɣ ɤɪɢɜɨɣ ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɚɯ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɞɭɝɢ (ɹɜɧɨɟ

ɟɟ ɡɚɞɚɧɢɟ; ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ

ɨɩɢɫɚɧɢɟ

ɢ ɡɚɞɚɧɢɟ

ɩɨɥɹɪɧɨɣ

ɫɢɫɬɟɦɟ

ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ).

13. ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ f

x :

ɚ) ɩɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ >a; f ;

ɛ) ɩɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ f; a@;

ɜ) ɩɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

f; f ?

14. Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ

>a; b@ ɮɭɧɤɰɢɢ f x .

15. Ⱦɚɬɶ

ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.

ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɯɨɞɹɳɢɯɫɹ

ɢɪɪɚɫɯɨɞɹɳɢɯɫɹ

ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ.

Ɏɭɧɤɰɢɢɬɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ

1. Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɢɮɭɧɤɰɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ ɞɥɹ

ɫɥɭɱɚɹ ɞɜɭɯ, ɬɪɟɯ ɢ ɛɨɥɟɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.

2. ɑɬɨ

ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

ɨɛɥɚɫɬɶɸ

ɡɧɚɱɟɧɢɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ

ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ?

ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ?

Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɟɞɟɥɚ ɮɭɧɤɰɢɢ z

f x, y ɜ ɬɨɱɤɟ M

; y

ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ

ɫɜɨɣɫɬɜɚ

ɩɪɟɞɟɥɨɜ

ɮɭɧɤɰɢɣ ɞɜɭɯ

Ɋɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.

f x, y ɜ ɬɨɱɤɟ M0 x0; y0 .

Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ z

7.Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɯ ɢ ɩɨ y ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ z f x, y ; ɡɧɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɢɞɵ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɣ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.

ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɩɨɥɧɨɟ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z

f x, y

ɜ ɬɨɱɤɟ M0 x0; y0 ? ɉɪɢɜɟɫɬɢ

ɩɪɢɦɟɪɵ.

Ⱦɚɬɶ

ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ

ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɟ

ɭɫɥɨɜɢɟ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ z f x, y ɜ ɬɨɱɤɟ M0 x0; y0 .

10.

Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

ɩɨɥɧɨɝɨ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ

ɮɭɧɤɰɢɢ

f x, y

ɬɨɱɤɟ

M0 x0; y0 . ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɢɧɜɚɪɢɚɧɬɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɩɨɥɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ.

11.

Ɏɨɪɦɭɥɚ

ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɝɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ

f x, y

ɬɨɱɤɟ

M0 x0; y0 ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɥɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ.

12.

Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɜɬɨɪɨɝɨ, ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɢ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɢɯ

ɩɨɪɹɞɤɨɜ

ɮɭɧɤɰɢɢ

f x, y .

ɬɟɨɪɟɦɭ ɨ

ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɜɬɨɪɵɯ

ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ

ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.

13.

f x, y ɜ ɬɨɱɤɟ

; y

Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ

14.

ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.

15.

Ⱦɨɫɬɚɬɨɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɢ

f x, y .

16.

Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟ ɫɥɨɠɧɵɯ ɢ ɧɟɹɜɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ:

ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ.

17.

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: ɚ) ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɛ) ɧɨɪɦɚɥɢ ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɩɪɢ

ɹɜɧɨɦ ɢ ɩɪɢ ɧɟɹɜɧɨɦ ɡɚɞɚɧɢɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ.

f x, y ɜ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ D

18.

ɇɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ z

ɫ ɝɪɚɧɢɰɟɣ Ƚ : ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɩɨɢɫɤɚ.

Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

1.	Ʉɚɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ
	n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ?							ɍ
2.								ɍ
2.	Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ 1–ɝɨ
	ɩɨɪɹɞɤɚ, ɪɚɡɪɟɲɟɧɧɨɝɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɬɚɪɲɟɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ.					Ɍ
						Ɍ
3.	Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ ɞɥɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ y						c	f x, y .
3.								f x, y .
					ɇ
	ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ
	ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ.				Ȼ
4.					Ȼ
4.	Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: ɨɛɳɟɝɨ ɢ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɣ, ɨɛɳɟɝɨ ɢ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ
	ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ 1–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ɉɫɨɛɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
	ɢ ɨɫɨɛɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.			ɣ
	ɢ ɨɫɨɛɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.
5.	Ⱦɍ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ: ɞɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɢ ɨɩɢɫɚɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
	ɪɟɲɟɧɢɹ.			ɢ
6.			ɪ
6.	Ɉɞɧɨɪɨɞɧɨɟ Ⱦɍ 1-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ: ɞɚɬɶ ɟɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ; ɨɩɢɫɚɬɶ ɩɨɪɹɞɨɤ ɩɨɢɫɤɚ
			ɨ
	ɬɢɩɚ Ⱦɍ ɢ ɢɡɥɨɠɢɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɟɲɟɧɢɹ.
7.		ɬ
7.	Ʌɢɧɟɣɧɨɟ Ⱦɍ 1-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɢ Ⱦɍ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ: ɞɚɬɶ ɢɯ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ; ɢɡɥɨɠɢɬɶ
	ɦɟɬɨɞ ɪɟɲɟɧɢɹ.	ɢ
8.		ɢ
8.	Ⱦɍ ɜ ɩɨɥɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚɯ: ɟɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɦɟɬɨɞ ɪɚɫɩɨɡɧɚɧɢɹ ɬɢɩɚ Ⱦɍ ɢ
	ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɟɲɟɧɢɹ.
	ɨ
9.	Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɡɨɛɳɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɢ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɝɨ Ⱦɍ n–
	ɩ
	ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɱɭ Ʉɨɲɢ ɞɥɹ ɧɟɝɨ.
10. ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ Ⱦɍ 2-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɢɟ ɩɨɧɢɠɟɧɢɟ ɩɨɪɹɞɤɚ;
	ɢɡɥɨɠɢɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɚɤɨɝɨ Ⱦɍ.
11.ɟɅɢɧɟɣɧɨɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ Ⱦɍ n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ:
	ɢɡɥɨɠɢɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɦɟɬɨɞɚ ɗɣɥɟɪɚ ɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ. ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ
Ɋɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɥɹ ɬɚɤɨɝɨ Ⱦɍ?

12.ɂɡɥɨɠɢɬɶ ɦɟɬɨɞ ɜɚɪɢɚɰɢɢ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ Ⱦɍ n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ.

13.ɂɡɥɨɠɢɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ Ⱦɍ n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɢ ɫɨ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɣ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɶɸ. ɍ

14.Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ Ⱦɍ. Ɉɩɢɫɚɬɶ ɦɟɬɨɞ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɞɥɹ ɟɟ ɪɟɲɟɧɢɹ. Ɍ

15.ɂɡɥɨɠɢɬɶ ɦɟɬɨɞ ɗɣɥɟɪɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ Ⱦɍ n–ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. ɇ

16.Ɂɚɞɚɱɢ ɞɢɧɚɦɢɤɢ, ɩɪɢɜɨɞɹɳɢɟ ɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦȻɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦ. ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ.

ɨɪɢɣ ɨɡɢɬ

Ɋɟɩ

ɄɈɇɌɊɈɅɖɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ 2

1–20. ɇɚɣɬɢ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ:

1. a)

³sin 2xecos 2 x dx ; ɛ)

ln x

dx ; ɜ)

14dx

; ɝ)

³sin2

x cos4

xdx .

x 1)(x 2)

cos

xdx

sin3 x

60dx

ln x

2. ɚ)

; ɛ)

dx ; ɜ)

; ɝ) ³

dx .

cos2 x

(x2 4)( x 4)2

3. ɚ)

³x

dx ; ɛ)

cos3 x

dx ; ɜ)

11x 16

dx ; ɝ)

³(x

4) sin 5xdx .

sin

1)(x

4x 4)

2x2 x

4. ɚ) ³cos xe sin x dx ; ɛ) ³cos6 x sin3 xdx ; ɜ) ³

dx ; ɝ)

³arccos2xdx .

(x 1)( x

2 x 1)

sin

sin 2 x

5. ɚ) ³

dx;

ɛ) ³

1 cos2 x

dx;

ɜ) ³

1 cos2 x

dx;

ɝ) ³xln(x2 4)dx.

etg x

10dx

6. ɚ) ³

cos

dx ; ɛ) ³x e dx ; ɜ) ³

; ɝ) ³

2x 1)2

1)(x 2)(x 1)

2x 1

7. ɚ)

ectg 2 x

dx ; ɛ)

(x2 2x 3)e

x dx ; ɜ)

5dx

; ɝ)

x 3 x2

dx.

³sin2 x

³(x2 4)( x

x(1 3 x)

8. ɚ)

dx ; ɛ)

arctg xdx ; ɜ)

4dx

; ɝ)

³sin4 xcos2 xdx.

³(x 1)2 (x 3)

9. ɚ)

arctg 3x

dx ; ɛ) ³(x2 3x) ln(x 2)dx ; ɜ)

28x 44

dx ;

(x 2)2 ( x 4)2

ɝ)

sin5 x5 cos3 xdx .

10.ɟɚ) arctg2 2x

; ɛ)

x cos2 3xdx ; ɜ)

2x2

5x 1

dx ; ɝ)

cos3 2x

dx .

3 sin2 2x

4x2

x3 2x2 x

arcsin 3x

dx ; ɛ) ³x2e 3x dx ; ɜ) ³

x3 x2 x 4

dx ; ɝ)

sin3 x

11. ɚ) ³

dx.

1 9x2

(x 1)(x 2)

3 cos4 x

12. ɚ) ³

tg3 3x

dx ; ɛ)

³x2 sin 2xdx ; ɜ) ³

2x2 10x 4

dx ; ɝ) ³

cos x 3sin x

cos2 3x

( x 1)2 ( x 3)

13. ɚ) ³

6x5

dx ; ɛ) ³x ln(x2 2)dx ; ɜ)

2x2 x 18

dx ;

x 1

4)( x 2)( x 1)

ɝ)

sin

x 16sin x cos x

14. ɚ) ³

dx ; ɛ) ³x2 e3x dx ; ɜ)

x3 3x 1

dx ; ɝ) ³

(x 1)(x 2)

sin

(2 x

)

4 sin x 5cos

15. ɚ)

xdx

; ɛ)

x ln(x

2 2x 3)dx ; ɜ)

x2 5x

dxɇ; ɝ)

cos x

x 1)( x 2)

5 4sin x

16. ɚ) ³x sin(1 3x2 )dx ; ɛ) ³2xe x dx ; ɜ) ³

dx ;

ɝ) ³

3sin2 x 5sin x cos x cos2 x

17. ɚ)

x cos(3x2 2)dx ,

ɛ)

x arctg 2xdx ,

ɜ)

4x2 16x 8

dx ,

ɪ³

ɝ) ³sin 5x cos4xdx .

x 3

x3 5x

³cos2 3xdx .

18. ɚ)

dx , ɛ)

³x ln xdx , ɜ) ³

dx , ɝ)

x 3

x(x 2)

19. ɚ) ³

, ɛ) ³x sin2

2xdx , ɜ) ³

3x 2

dx , ɝ) ³

sin x cos5 xdx .

4 x

x2 (x 4)

x 4

dx , ɝ) ³

20.

ɚ)

ɩx 3 4x dx , ɛ)

sin 2

dx , ɜ)

3cos2 x 5sin 2

x(x2 4)

21-40. (ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ)

21–26. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɥɨɳɚɞɢ ɮɢɝɭɪ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɵɯ ɥɢɧɢɹɦɢ:

21.

sin x,

Sº

y 1. 22.

e x ,

»,

2 ¼

23.

e x ,

2 .

24.

2sin t

25.

t > 1;1@; y 0.

t 2

¯x

3cost

¯y

26.

2sin 2M.

27–33. ɇɚɣɬɢ ɞɥɢɧɭ ɞɭɝɢ ɤɪɢɜɨɣ:

27.

ln cos x,

Sº

. 28.

t 2 ;

t >0;1@.

«0;

¯y

29.

cos3 t

t >0;2S@. 30.

sin t;

t [0; 2S].

31.

1 sinM;

¯y

sin

1 cost,

M >0;S@.

¯ ɇ

M >0; S@. 33. U

32.

3(1 cos M),

M «0;

».

34–40. ɇɚɣɬɢ ɨɛɴɟɦ ɬɟɥɚ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɜɪɚɳɟɧɢɟɦ ɜɨɤɪɭɝ ɨɫɢ Ox ɮɢɝɭɪɵ,

ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɥɢɧɢɹɦɢ:

x2 ɪ5, y 1. 36. y

34.

sin x,

x >0; S@. 35.

x2 ,

x 2 .

37.

e x ,

ɨ1. 38. y

ln x,

0 .

cost;

39.

40.

t >0;S@.

¯y

3sin t.

¯y

1 cost.

41–60. ɇɚɣɬɢ

w2 z

ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ z

z(x, y) .

wxwy

y 2

41.

e x

. 42. z

2 sin 2x

. 43. z

tg2 y . 44. z

y 2

45.

e y . 46. z

. 47. z

xe y . 48. z

ye y . 49. z

xe y .

Ɋ50. z

cos2 (x y) . 51. z

sin2 (x y) . 52. z

ln(x3 2 y) .

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31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
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31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
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24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx